MATEMANIJA

Izračunati vrednost konstante [inlmath]A[/inlmath] tako da funkcija
[dispmath]f(x)=\begin{cases}
\left(\frac{2^x+8^x}{2}\right)^\frac{1}{x}, & x\ne0\\
A, & x=0
\end{cases}[/dispmath] bude neprekidna u nuli.

* Rešenje zadatka nije okačeno na sajtu.

Ovde je potrebno ispitati šta se dešava kada [inlmath]x[/inlmath] teži [inlmath]0[/inlmath]:
[dispmath]\lim_{x\to0}\left(\frac{2^x+8^x}{2}\right)^\frac{1}{x}=\lim_{x\to0}\left(1+\frac{1}{\frac{2}{2^x+8^x-2}}\right)^{\frac{2}{2^x+8^x-2}\cdot\frac{2^x+8^x-2}{2}\cdot\frac{1}{x}}[/dispmath] Kako je ovo sad oblik "[inlmath]\frac{0}{0}[/inlmath]", primenio sam Lopitalovo i da je izvod od [inlmath]a^x=a^x\ln a[/inlmath] (ovo nisam siguran da li sam smeo da primenim) i dobio:
[dispmath]e^{\lim\limits_{x\to0}\left(\frac{2^x\ln2+8^x\ln8}{2}\right)}[/dispmath] Dalje sam se spetljao, nisam znao kako da završim izraz.

Sve ti je dobro. Prostim uvrštavanjem [inlmath]x=0[/inlmath] na kraju se dobije:
[dispmath]e^\frac{\ln2+\ln8}{2}=e^\frac{\ln16}{2}=e^{\ln4}=4[/dispmath]

Hvala. Zaboravio sam osnovnu osobinu logaritma na kraju.

Acim je napisao:[dispmath]\lim_{x\to0}\left(\frac{2^x+8^x}{2}\right)^\frac{1}{x}=\lim_{x\to0}\left(1+\frac{1}{\frac{2}{2^x+8^x-2}}\right)^{\frac{2}{2^x+8^x-2}\cdot\frac{2^x+8^x-2}{2}\cdot\frac{1}{x}}[/dispmath]

Ti si išao na oblik [inlmath]\lim\limits_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e[/inlmath], ali ovde ti je možda bilo jednostavnije da si sveo na oblik [inlmath]\lim\limits_{x\to0}(1+x)^\frac{1}{x}=e[/inlmath]:
[dispmath]\lim_{x\to0}\left(\frac{2^x+8^x}{2}\right)^\frac{1}{x}=\lim_{x\to0}\left(1+\frac{2^x+8^x-2}{2}\right)^{\frac{1}{\frac{2^x+8^x-2}{2}}\cdot\frac{2^x+8^x-2}{2}\cdot\frac{1}{x}}=\cdots[/dispmath]