MATEMANIJA

Pozdrav, nadam se da sam u korektnoj temi stavio ovaj zadatak,

Minimum funkcije [inlmath]f(x)=4x+\frac{9\pi^2}{x}+\sin x[/inlmath] na intervalu [inlmath](0,\infty)[/inlmath] je:

Rešenje: [inlmath]12\pi-1[/inlmath]

Ne znam kako bi uopšte započeo zadatak.

Čim se traži minimum, prvo što je potrebno uraditi to je naći prvi izvod i izjednačiti ga s nulom, [inlmath]f'(x)=4-\frac{9\pi^2}{x^2}+\cos x=0[/inlmath].
Ovo je transcendentna jednačina, što znači da se ne može rešiti analitičkim putem. Ali, nešto se tu ipak može uraditi ako uočimo da zbog ograničenosti vrednosti kosinusa na intervalu [inlmath][-1,1][/inlmath] mora važiti [inlmath]-1\le4-\frac{9\pi^2}{x^2}\le1[/inlmath], odakle se, nakon malo sređivanja, dobije da [inlmath]x[/inlmath] mora pripadati intervalu [inlmath]\left[\frac{3\pi}{\sqrt5},\sqrt3\pi\right][/inlmath]. Može se uočiti da je na tom intervalu [inlmath]f'(x)[/inlmath] monotono rastuća funkcija. Takođe, uvrštavanjem se može pokazati da [inlmath]f'(x)[/inlmath] na levoj granici tog intervala ima negativnu a na desnoj granici intervala pozitivnu vrednost. Kako je [inlmath]f'(x)[/inlmath] na tom intervalu monotono rastuća (a i neprekidna) funkcija, sledi da na tom intervalu [inlmath]f'(x)[/inlmath] mora imati tačno jednu nulu. Ta nula se može „napipati“ ako se isprobavaju „lepe“ vrednosti za argument kosinusa (a „lepe“ vrednosti za argument kosinusa koje pripadaju tom intervalu su npr. [inlmath]x=\frac{3\pi}{2}[/inlmath] i [inlmath]x=\frac{5\pi}{3}[/inlmath], jer za njih kosinus ima racionalne vrednosti). Ispostaviće se da se [inlmath]f'(x)=0[/inlmath] dobije baš za [inlmath]x=\frac{3\pi}{2}[/inlmath].

Hvala na odgovoru dosta mi je pomoglo, predpostavio sam da se kreće od prvog izvoda.