MATEMANIJA

Zdravo svima,
Imam problem sa ispitivanjem funkcije
[dispmath]f(x)=x\ln\frac{2x}{x+1}[/dispmath] Problem je zapravo monotonost i ekstremne vrednosti.
Ono što dobijam kao prvi izvod je
[dispmath]f'(x)=\ln\frac{2x}{x+1}+\frac{1}{x+1}[/dispmath] ali ni na koji način ne uspevam da odredim nule funkcije prvog izvoda

Ta jednačina je transcendentna i nije je moguće rešiti analitičkim putem, ali možemo grubo proceniti njena rešenja. Uvedemo prvo smenu,
[inlmath]\frac{2x}{x+1}=t\\
2x=tx+t\\
x(2-t)=t\\
x=\frac{t}{2-t}[/inlmath]
Jednačina tada postaje:
[dispmath]\ln t=-\frac{1}{\frac{t}{2-t}+1}\\
\ln t=-\frac{2-t}{2}\\
\ln t=\frac{t}{2}-1[/dispmath] Ovo je takođe transcendentna jednačina, ali je u mnogo pogodnijem obliku za grafičko predstavljanje. Ako predstavimo na grafiku levu stranu (crveno) i desnu stranu jednačine (plavo), uočićemo da imaju dve presečne tačke, što znači da postoje dva rešenja te jednačine, pri čemu apscisne koordinate presečnih tačaka predstavljaju rešenja jednačine po [inlmath]t[/inlmath]:


Rešenja, dakle, nije moguće tačno odrediti, ali sa grafika se može uočiti da manje rešenje po [inlmath]t[/inlmath] pripada intervalu [inlmath](0,1)[/inlmath], a nakon vraćanja smene ([inlmath]\frac{2x}{x+1}>0[/inlmath] i [inlmath]\frac{2x}{x+1}<1[/inlmath]) dobije se i da odgovarajuće rešenje po [inlmath]x[/inlmath] pripada intervalu [inlmath](0,1)[/inlmath].
Drugo rešenje po [inlmath]t[/inlmath] moramo malo da „napipavamo“. Za [inlmath]t=e[/inlmath] dobije se da je leva strana jednačine (koja iznosi [inlmath]1[/inlmath]) veća od desne strane jednačine. Za [inlmath]t=e^2[/inlmath], međutim, dobije se da je leva strana jednačine (koja iznosi [inlmath]2[/inlmath]) ovog puta manja od desne strane. Znači, drugo rešenje po [inlmath]t[/inlmath] mora se nalaziti u intervalu [inlmath]\left(e,e^2\right)[/inlmath], a vraćanjem smene ([inlmath]\frac{2x}{x+1}>e[/inlmath] i [inlmath]\frac{2x}{x+1}<e^2[/inlmath]) dobije se da odgovarajuće rešenje po [inlmath]x[/inlmath] pripada intervalu [inlmath]\left(\frac{e}{2-e},\frac{e^2}{2-e^2}\right)[/inlmath], tj. aproksimativno [inlmath](-3.79,\,-1.37)[/inlmath].