MATEMANIJA

Pozdrav, bila bih Vam zahvalna ako biste mi pomogli oko sljedećeg zadatka:

Naći ekstreme funkcije date sa:
[dispmath]z=\left(x^2+y\right)e^\frac{y}{4}[/dispmath]
Ja sam započela tako što sam izračunala prvi izvod po [inlmath]x[/inlmath] i prvi izvod po [inlmath]y[/inlmath] i dobila sljedeći sistem jednačina:
[dispmath]2xe^\frac{y}{4}=0\\
e^\frac{y}{4}\left(1+\frac{x^2+y}{4}\right)=0[/dispmath] Međutim, nisam uspjela riješiti ovaj sistem da bih dobila stacionarne tačke i da bih dalje pomoću Hessian matrice provjerila da li su te tačke maksimum ili minimum.

Dobro si odredila prve parcijalne izvode i potreban uslov ekstremuma:

[inlmath]\frac{\partial z}{\partial x}=2xe^{\frac{y}{4}}=0[/inlmath]

[inlmath]\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{1}{4}\left( x^{2}+y+4 \right)e^{\frac{y}{4}}=0[/inlmath]

Iz prve jednačine je [inlmath]x=0[/inlmath] ili [inlmath]e^{\frac{y}{4}}=0[/inlmath]. Kako je [inlmath]e^{a}>0[/inlmath], ostaje da je [inlmath]x=0[/inlmath]. Zamenom te vrednosti u drugu jednačinu lako se dobija da je [inlmath]y=-4[/inlmath].
Dakle, stacionarna tačka je [inlmath]\left( x_{0},y_{0} \right)=\left( 0,-4 \right)[/inlmath].

Često se kod funkcija dve promenljive koriste kraće oznake:

[inlmath]z_{x}=\frac{\partial z}{\partial x},\space
z_{y}=\frac{\partial z}{\partial y}, \space
z_{xx}=\frac{\partial ^{2}z}{\partial x^{2}}, \space
z_{xy}=\frac{\partial ^{2}z}{\partial x \partial y}, \space
z_{yy}=\frac{\partial ^{2}z}{\partial y^{2}}[/inlmath]

pa ću dalje koristiti te oznake.

Drugi parcijalni izvodi su:

[inlmath]z_{xx}=2e^{\frac{y}{4}}, \space
z_{xy}=z_{yx}=\frac{1}{2}xe^{\frac{y}{4}}, \space
z_{yy}=\frac{1}{16}\left( x^{2}+y+8\right)e^{\frac{y}{4}}[/inlmath]

Vrednosti drugih izvoda u stacionarnoj tački [inlmath]\left( 0,-4 \right)[/inlmath] su

[inlmath]z_{xx}\left( 0,-4 \right)=2e^{-1}, \space
z_{xy}\left( 0,-4 \right)=0, \space
z_{yy}\left( 0,-4 \right)=\frac{1}{4}e^{-1}[/inlmath]

Hessian matrica date funkcije:

[inlmath]H_{z}\left( x,y \right)=\left[
\begin{matrix}
z_{xx}& z_{yx}\\
z_{xy} & z_{yy}
\end{matrix}
\right][/inlmath]

a u stacionarnoj tački [inlmath]\left( 0,-4 \right)[/inlmath] je

[inlmath]H_{z}\left( 0,-4 \right)=\left[
\begin{matrix}
2e^{-1} & 0\\
0 & \frac{1}{4}e^{-1}
\end{matrix}
\right][/inlmath]

Kako je vrednost determinante

[inlmath]\det\left( H_{z}\left( 0,-4 \right) \right)=\frac{1}{2}e^{-2}>0[/inlmath], data funkcija ima ekstremum.

a, kako je

[inlmath]z_{xx}\left( 0,-4 \right)=2e^{-1}>0[/inlmath], u pitanju je minimum.

Vrednost minimuma je

[inlmath]z\left( 0,-4 \right)=-4e^{-1}[/inlmath]

Hvala mnogo!

MATEMANIJA

Ekstremi funkcije dvije promjenljive

Ekstremi funkcije dvije promjenljive

Re: Ekstremi funkcije dvije promjenljive

Re: Ekstremi funkcije dvije promjenljive