MATEMANIJA

Imam cetiri zadatka koja trenutno radim. Sva su u vezi pronalazenja intervala monotonosti, ekstremnih tacki kao i intervala kada je funkcija konkavna a kada konveksna i da se nadje tacka prevoja ukoliko je ima. Pisacu po jedan zadatak pa kada mi neko da objasnjenje na neka pitanja postavicu druge. Boldovacu i podvuci ono sto mi nije jasno.

1. Data je f-ja [inlmath]y=(x-2)^2(x-1)^3[/inlmath] Odrediti intervale monotonosti te f-je kao i ekstremne tacke. Data je funkcija [inlmath]y=e^{-2x^2}[/inlmath]. Odrediti intervale u kojima je f-ja konkavna, odnosno konveksna i nadji tacku prevoja ukoliko ima.
[dispmath]y=(x-2)^2\cdot(x-1)^3[/dispmath][dispmath]y'=\left[(x-2)^2\right]'\cdot(x-1)^3+(x-2)^2\cdot\left[(x-1)^3\right]'[/dispmath][dispmath]y'=[2(x-2)](x-1)^3+(x-2)^2\left[3(x-1)^2\right][/dispmath][dispmath]y'=(x-2)(x-1)^2\cdot[2(x-1)+3(x-2)][/dispmath][dispmath]y'=(x-2)(x-1)^2\cdot(2x-2+3x-6)[/dispmath][dispmath]y'=(x-2)(x-1)^2\cdot(5x-8)[/dispmath]
Ekstremne tacke: [inlmath]y'=0[/inlmath]
[dispmath](x-2)(x-1)^2(5x-8)=0[/dispmath][dispmath]x-2=0\quad x_1=2\quad T_1(2,0)\mbox{ min}[/dispmath][dispmath]x-1=0\quad x_2=1\quad T_2=(1,0)\mbox{ nije ekstr.}[/dispmath][dispmath]5x-8=0\quad x_3=\frac{8}{5}\quad T_3\left(\frac{8}{5},\frac{108}{3125}\right)\mbox{ max}[/dispmath]
[inlmath]y(2)=0[/inlmath]
[inlmath]y(1)=0[/inlmath]
[dispmath]y\left(\frac{8}{5}\right)=\left(\frac{8}{5}-2\right)^2\left(\frac{8}{5}-1\right)^3[/dispmath][dispmath]y\left(\frac{8}{5}\right)=\frac{4}{25}\cdot\frac{27}{125}=\frac{108}{3125}[/dispmath]
2. deo zadatka
[dispmath]y=e^{-2x^2}[/dispmath][dispmath]y'=e^{-2x^2}\cdot(-4x)[/dispmath][dispmath]y'=-4x\cdot e^{-2x^2}[/dispmath][dispmath]y''=(-4x)'\cdot e^{-2x^2}-4x\left(e^{-2x^2}\right)'[/dispmath][dispmath]y''=-4e^{-2x^2}-4x\left(-4xe^{-2x^2}\right)[/dispmath][dispmath]y''=-4e^{-2x^2}\left(1-4x^2\right)[/dispmath][dispmath]y''=4e^{-2x^2}(2x-1)(2x+1)[/dispmath]
Prevojne tacke:
[dispmath]4e^{-2x^2}(2x-1)(2x+1)=0[/dispmath]
[dispmath]e^{-2x^2}\mbox{ razlicito od }0[/dispmath]
[dispmath]2x-1=0\quad x_1=\frac{1}{2}\quad P_1\left(\frac{1}{2},\frac{1}{\sqrt e}\right)[/dispmath][dispmath]2x+1=0\quad x_2=-\frac{1}{2}\quad P_2\left(-\frac{1}{2},\frac{1}{\sqrt e}\right)[/dispmath][dispmath]y\left(\frac{1}{2}\right)=e^{-2\cdot\frac{1}{4}}=e^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt e}[/dispmath][dispmath]y\left(-\frac{1}{2}\right)=e^{-2\cdot\frac{1}{4}}=e^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt e}[/dispmath]
Tabele za konveksnost i konkavnost i monotonost su mi ovde jasne.

Pokusao sam jos izmeniti post itd pise mi da ne mogu vise da ga menjam
Inace u prvom delu nije mi jasno od trece jednacine pa na dalje.
Nije mi jasno kod ekstremne tacke kako se dobije [inlmath]\frac{108}{3125}[/inlmath]
[inlmath]y\left(\frac{8}{5}\right)=\left(\frac{8}{5}-2\right)^2\left(\frac{8}{5}-1\right)^3[/inlmath] sto na drugi pa na treci ?


U drugom delu nije mi nista skoro jasno. Odakle [inlmath]-4x[/inlmath] u zagradi? ...

Sto se tice ekstremne tacke, zapravo se samo za [inlmath]x[/inlmath] stavlja brojna vrednost dobijena iz izjednacavanja izvoda sa nulom u polaznu funkciju... Otuda ti stepeni.

Ono [inlmath]-4x[/inlmath] iz zagrade potice iz izvoda slozene funkcije... Kad trazis izvod [inlmath]y'=-4x\cdot e^{-2x^2}[/inlmath] moras uzeti u obzir da je u pitanju slozena funkcija, pa se taj izraz javlja kao izvod funkcije [inlmath]{-2x^2}[/inlmath]

Nejasnoce kod prvog zadatka ti takodje poticu od pojavljivanja slozene funkcije u drugom redu... Mada tu ti nije neophodno da zadatak radis na taj nacin... Izvod onih kvadrata mozes da dobijes i kao izvod proizvoda. Ostalo je elementarno sredjivanje.

Ne kontam ni 4. jednacinu deo : [inlmath](2(x-1)+3(x-2))[/inlmath]. Ta i 3. su mi i dalje nejasne.

Trebaš da nađeš izvod sledeće funkcije:
[dispmath]y=f(x)=(x-2)^2\cdot(x-1)^3[/dispmath][dispmath]y'=\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\left((x-2)^2\cdot(x-1)^3\right)[/dispmath]
Upotrebiš formulu za izvod proizvoda:
[dispmath]y'=\left[{\color{red}\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\left((x-2)^2\right)}\cdot(x-1)^3\right]+\left[(x-2)^2\cdot{\color{blue}\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\left((x-1)^3\right)}\right][/dispmath]
Sad iskoristiš pravilo za složene funkcije:
[dispmath]y'=\left[{\color{red}2(x-2)\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}(x-2)}\cdot(x-1)^3\right]+\left[(x-2)^2\cdot{\color{blue}3(x-1)^2\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}(x-1)}\right][/dispmath]
Ova dva člana kada diferenciramo dobićemo [inlmath]1[/inlmath] tako da to možemo pisati:
[dispmath]y'=\left[2(x-2)\cdot(x-1)^3\right]+\left[(x-2)^2\cdot 3(x-1)^2\right][/dispmath]
Vidimo da je za oba sabirka zajednički [inlmath](x-2)(x-1)^2[/inlmath], pa ga izvlačimo ispred zagrade:
[dispmath]y'=(x-2)(x-1)^2\cdot\left[2(x-1)+3(x-2)\right][/dispmath]
Nakon toga se sve izmnoži i sabereš u zagradi i dobiješ:
[dispmath]y'=(x-2)(x-1)^2\cdot (5x-8)[/dispmath]
To je to

Hvala, to je pomoglo
Inace necu postavljati jos uvek preostala 3 uradjena zadatka dok ne skontam malo bolje i konkretno budem imao sta da pitam. Postavicu 2 neuradjena zadatka, koja su mi preostala i to je to.

1. Data je funkcija [dispmath]f(x)=(2x-1)^2(5x+2)^3[/dispmath] Ispitati intervale monotonosti te funkcije i odrediti ekstremne tacke

2. Pokazati da kriva [dispmath]f(x)=\frac{x^4}{3}-2x^2-\ln x[/dispmath] ne menja konkavnost

johnnybgood je napisao:1. Data je funkcija [dispmath]f(x)=(2x-1)^2(5x+2)^3[/dispmath] Ispitati intervale monotonosti te funkcije i odrediti ekstremne tacke

Potpuno isti princip kao zadatak s početka ove teme, samo su brojne vrednosti drugačije. Znači, nađeš prvi izvod te funkcije i odrediš u kojim intervalima je pozitivan (u tim intervalima je funkcija monotono rastuća), u kojim intervalima je negativan (u njima je funkcija monotono opadajuća), a u kojima je nula (to su ili ekstremne tačke ili prevojne tačke, a to ćeš odrediti na osnovu između kojih se intervala monotonosti nalaze).

johnnybgood je napisao:2. Pokazati da kriva [dispmath]f(x)=\frac{x^4}{3}-2x^2-\ln x[/dispmath] ne menja konkavnost

Pošto je konkavnost određena predznakom drugog izvoda, znači da ovde treba naći drugi izvod i pokazati da je on uvek istog predznaka za svako [inlmath]x[/inlmath].

Opet pitanje u vezi 1. zadatka gore:
[dispmath]y'=(x-2)(x-1)^2\cdot (2(x-1)+3(x-2))[/dispmath]
Ovde je receno da se [inlmath]x-2[/inlmath] i [inlmath]x-1[/inlmath] izvlace jer su zajednicki u trecoj jednacini ali me zanima zasto [inlmath](x-2)[/inlmath] nije stepenovano a [inlmath](x-1)^2[/inlmath] ?

U drugom delu zasto je [inlmath](2(x-1)+3(x-2))[/inlmath] Zasto je posle [inlmath]2[/inlmath], [inlmath](x-1)[/inlmath] a posle [inlmath]3[/inlmath], [inlmath](x-2)[/inlmath] kada je gore u zadatku posle [inlmath]2[/inlmath] [inlmath](x-2)[/inlmath] a posle [inlmath]3[/inlmath], [inlmath](x-1)[/inlmath]?


Takodje kod ekstremnih tacaka: [dispmath]y\frac{8}{5}=\left(\frac{8}{5}-2\right)^2 \left(\frac{8}{5}-1\right)^3[/dispmath] kako se dobije [dispmath]\frac{4}{25}\mbox{ i }\frac{108}{3125}[/dispmath]

OK imamo:
[dispmath]y'=\left[2(x-2)\cdot(x-1)^3\right]+\left[(x-2)^2\cdot 3(x-1)^2\right][/dispmath]
Ako zamenimo izraz [inlmath](x-2)[/inlmath] sa [inlmath]a[/inlmath], i [inlmath](x-1)[/inlmath] sa [inlmath]b[/inlmath] možemo celu jednačinu da pišemo ovako
[dispmath]y'=\left(2ab^3\right)+\left(3a^2b^2\right)[/dispmath] Vidimo da u prvom sabirku [inlmath]a[/inlmath] je samo na prvi stepen podignuto, pa ne možemo da izvlačimo veći stepen od toga. Što se tiče [inlmath]b[/inlmath] ono se pojavljuje na drugi i treći stepen pa možemo izbaciti ispred zagrade [inlmath]b^2[/inlmath]. Dakle, nakon izvlačenja:
[dispmath]y'=ab^2\left(2b+3a\right)[/dispmath]
tj.[dispmath]y'=(x-2)(x-1)^2\left[2(x-1)+3(x-2)\right][/dispmath]

johnnybgood je napisao:U drugom delu zasto je [inlmath](2(x-1)+3(x-2))[/inlmath] Zasto je posle [inlmath]2[/inlmath], [inlmath](x-1)[/inlmath] a posle [inlmath]3[/inlmath], [inlmath](x-2)[/inlmath] kada je gore u zadatku posle [inlmath]2[/inlmath] [inlmath](x-2)[/inlmath] a posle [inlmath]3[/inlmath], [inlmath](x-1)[/inlmath]?

Redosled činilaca prilikom množenja nije bitan, pa tako: [inlmath]2(x-2)(x-1)=(x-1)2(x-2)=(x-1)(x-2)2=\cdots[/inlmath] Mada uobičajno je da se koeficijenti stavljaju ispred promenljivih.

---

[dispmath]y\left(\frac{8}{5}\right)=\left(\frac{8}{5}-2\right)^2\left(\frac{8}{5}-1\right)^3[/dispmath][dispmath]=\left(\frac{8}{5}-\frac{10}{5}\right)^2\left(\frac{8}{5}-\frac{5}{5}\right)^3[/dispmath][dispmath]=\left(\frac{-2}{5}\right)^2\left(\frac{3}{5}\right)^3[/dispmath][dispmath]=\frac{4}{25}\cdot\frac{27}{125}[/dispmath][dispmath]=\frac{4\cdot 27}{25\cdot 125}[/dispmath][dispmath]=\frac{108}{3125}[/dispmath]

Zadatak br.2

Data je f-ja [dispmath]\frac{x^2+1}{x^2-1}[/dispmath] Odrediti intervale monotonosti i ekstremne tacke.
[dispmath]y'=\frac{\left(x^2+1\right)'\left(x^2-1\right)-\left(x^2+1\right)\left(x^2-1\right)'}{\left(x^2-1\right)^2}[/dispmath][dispmath]\frac{2x\left(x^2-1\right)-2x\left(x^2+1\right)}{\left(x^2-1\right)^2}[/dispmath][dispmath]\frac{2x\left(x^2-1-x^2-1\right)}{\left(x^2-1\right)^2}[/dispmath][dispmath]\frac{-4x}{(x-1)^2(x+1)^2}[/dispmath]
Zasto se nalazi minus izmedju[dispmath]\left(x^2-1\right)-\left(x^2+1\right)[/dispmath] a ne plus? Od cega to zavisi?

Ekstremne tacke: [inlmath]y'=0\quad -4x=0\quad x=0\quad y(0)=1\quad T(0,1)[/inlmath] MAX
Kada je [inlmath]x=0[/inlmath] [inlmath]y(0)[/inlmath] je uvek [inlmath]1[/inlmath]?
Kad je MAX, MIN i NIJE EXTR?
Dalje imam monotonost ali da ne crtam tabelu na levoj strani je [inlmath]-2x[/inlmath], [inlmath](x-1)^2[/inlmath] , [inlmath](x+1)^2[/inlmath] , [inlmath]y'[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath]. Zasto [inlmath]-2x[/inlmath] a ne [inlmath]-4x[/inlmath]?

Iznad se nalazi [inlmath]-\infty[/inlmath], [inlmath]-1[/inlmath], [inlmath]0[/inlmath], [inlmath]1[/inlmath] i [inlmath]+\infty[/inlmath]. Odakle [inlmath]-1[/inlmath] izmedju minus beskonacno i [inlmath]0[/inlmath] kada se [inlmath]-1[/inlmath] nigde ne pojavljuje? Do sada me monotonost nije bunila osim u ovom zadatku.

johnnybgood je napisao:Zasto se nalazi minus izmedju[dispmath]\left(x^2-1\right)-\left(x^2+1\right)[/dispmath] a ne plus? Od cega to zavisi?

Minus potiče od same formule za računanje izvoda količnika dve funkcije. Ako imamo dve funkcije, [inlmath]u[/inlmath] i [inlmath]v[/inlmath], a tražimo izvod njihovog količnika, tj. [inlmath]\left(\frac{u}{v}\right)'[/inlmath], to radimo po sledećoj formuli:
[dispmath]\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v{\color{red}-}uv'}{v^2}[/dispmath]
Znači, liči na formulu za izvod proizvoda dve funkcije, samo što ovde umesto plusa imamo taj minus i što sve još podelimo kvadratom te druge funkcije.
E, pošto u ovom zadatku tražimo izvod količnika dve funkcije, primenjujemo tu formulu, pa odatle taj minus.

johnnybgood je napisao:Ekstremne tacke: [inlmath]y'=0\quad -4x=0\quad x=0\quad y(0)=1\quad T(0,1)[/inlmath] MAX
Kada je [inlmath]x=0[/inlmath] [inlmath]y(0)[/inlmath] je uvek [inlmath]1[/inlmath]?

Ovde je greška, za [inlmath]x=0[/inlmath] se dobije [inlmath]y\left(0\right)=-1[/inlmath]. Znači, eksrem je [inlmath]T\left(0,-1\right)[/inlmath], a ne [inlmath]T\left(0,1\right)[/inlmath].

johnnybgood je napisao:Kad je MAX, MIN i NIJE EXTR?

Drugi izvod nam govori da li je tačka u kojoj je prvi izvod nula maksimum, minimum ili prevojna tačka. Ako je [inlmath]y''<0[/inlmath], u pitanju je maksimum, ako je [inlmath]y''>0[/inlmath], u pitanju je minimum, a ako je [inlmath]y''=0[/inlmath], u pitanju je prevojna tačka.
Može i bez računanja drugog izvoda – ako je levo od posmatrane tačke funkcija rastuća a desno od nje opadajuća, onda intuitivno možemo zaključiti da je u pitanju maksimum. Isto tako i za ostale slučajeve.

johnnybgood je napisao:Dalje imam monotonost ali da ne crtam tabelu na levoj strani je [inlmath]-2x[/inlmath], [inlmath](x-1)^2[/inlmath] , [inlmath](x+1)^2[/inlmath] , [inlmath]y'[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath]. Zasto [inlmath]-2x[/inlmath] a ne [inlmath]-4x[/inlmath]?

Iznad se nalazi [inlmath]-\infty[/inlmath], [inlmath]-1[/inlmath], [inlmath]0[/inlmath], [inlmath]1[/inlmath] i [inlmath]+\infty[/inlmath]. Odakle [inlmath]-1[/inlmath] izmedju minus beskonacno i [inlmath]0[/inlmath] kada se [inlmath]-1[/inlmath] nigde ne pojavljuje? Do sada me monotonost nije bunila osim u ovom zadatku.

Samo jedno pitanje – šta se upisuje u tu tabelu? Plusevi i minusi, ili neki drugi sadržaj?

Upisuju se plusevi i minusi.

[inlmath]-2x[/inlmath] je verovatno greška – logičnije bi bilo [inlmath]-4x[/inlmath], budući da taj izraz figuriše u brojiocu, mada se ni ovako ne dobija pogrešan rezultat, jer posmatramo samo znak, a na znak nema uticaja da li uzmemo [inlmath]-2[/inlmath] i [inlmath]-4[/inlmath], jer su oba broja istog (negativnog) predznaka.

A odakle [inlmath]-1[/inlmath]... U tabeli se pojavljuje i sama funkcija [inlmath]y[/inlmath], tj. određujemo i njen znak, a ta funkcija iznosi [inlmath]\frac{x^2+1}{x^2-1}[/inlmath], tj. kad se imenilac rastavi kao razlika kvadrata, [inlmath]\frac{x^2+1}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}[/inlmath]. Brojilac je uvek pozitivan, pa on ne utiče na znak funkcije, tako da posmatramo samo faktore u imeniocu. A granice intervala različitih predznaka imenioca biće [inlmath]-1[/inlmath] i [inlmath]1[/inlmath].

Treci zadatak. Data je f-ja [dispmath]y=\ln\left(4x^2-8x+4\right)[/dispmath] Odredi intervale monotonosti i ekstremne tacke. Data je f-ja [dispmath]f(x)=\frac{4x-12}{x-2}[/dispmath] Odrediti intervale u kojima je f-ja konkavna, odnosno konveksna i naci tacku prevoja ukoliko je ima.
[dispmath]y'=\frac{1}{4x^2-8x+4}\cdot(8x-8)[/dispmath][dispmath]y'=\frac{8(x-1)}{4\left(x^2-2x+1\right)}[/dispmath][dispmath]y'=\frac{8(x-1)}{4(x-1)^2}[/dispmath]
Moze pojasnjenje kako smo od [inlmath]\left(x^2-2x+1\right)[/inlmath] dobili [inlmath](x-1)^2[/inlmath]
[dispmath]y'=\frac{2}{x-1}[/dispmath]
Ekstremne tacke:
[dispmath]\frac{2}{x-1}=0[/dispmath] [inlmath]2[/inlmath] je razl. od [inlmath]0[/inlmath] Nema ekstremnih tacaka

Df: [dispmath]4x^2-8x+4>0[/dispmath]
Da je se uvek pise [inlmath]>0[/inlmath] ili moze biti i [inlmath]<0[/inlmath] i cime je to uslovljeno?
[dispmath]4\left(x^2-2x+1\right)>0[/dispmath][dispmath]4(x-1)^2>0[/dispmath][dispmath]x-1>0[/dispmath][dispmath]x>1[/dispmath]
Kod monotonosti sa leve strane imamo [inlmath]x-1[/inlmath], [inlmath]y'[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] a gore [inlmath]-\infty[/inlmath], [inlmath]1[/inlmath] i [inlmath]+\infty[/inlmath]. Polja od [inlmath]-\infty[/inlmath] do [inlmath]1[/inlmath] su israfirana, valjda se ne trebaju traziti ili je nesto drugo u pitanju?

Drugi deo zadatka.
[dispmath]f'(x)=\frac{(4x-12)'(x-2)-(4x-12)(x-2)'}{(x-2)^2}[/dispmath][dispmath]f'(x)=\frac{4(x-2)-4x+12}{(x-2)^2}[/dispmath]
Moze li ovde pojasnjenje izmedju ova 2 koraka? Ovo ispod kako se dobilo.
[dispmath]f'(x)=\frac{4x-8-4x-12}{(x-2)^2}[/dispmath][dispmath]f'(x)=\frac{4}{(x-2)^2}[/dispmath]
ovde nisam siguran da li pise [inlmath]^2[/inlmath] ili [inlmath]^4[/inlmath]?
[dispmath]f''(x)=\frac{-2(x-2)\cdot 4}{(x-2)^4}[/dispmath]
Nije mi jasno kako smo dobili ovo?
Ovde se krati [inlmath](x-2)[/inlmath] sa [inlmath]^4[/inlmath]
[dispmath]f''(x)=\frac{-8}{(x-2)^3}[/dispmath]
Konveksnost i konkavnost
Levo u tabeli imamo: [inlmath]-8[/inlmath], [inlmath](x-2)^3[/inlmath], [inlmath]y''[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath]. Gore [inlmath]-\infty[/inlmath], [inlmath]2[/inlmath] i [inlmath]+\infty[/inlmath]. Odakle [inlmath]2[/inlmath]?

Inace ne znam kako da obojim deo u equation a da to ne zezne jednacinu. Ono sto sam napisao ispod crvenim odnosi se na jednacine iznad da se zna

Napisacu jos samo 1 zadatak.
Data je f-ja [inlmath]y=x\ln x-x[/inlmath]. Odr. monotonost i ekstremne tacke. Data je f-ja [dispmath]f(x)=x^5-5x^4+\frac{20}{3}x^3+3x-5[/dispmath] odr. intervale u kojima je f-ja konkavna odnosno konveksna i naci tacku prevoja ako ima.
[dispmath]y=x\ln x-x=x\left(\ln x-1\right)[/dispmath]
Po kojoj formuli je ubaceno [inlmath]-1[/inlmath]?
[dispmath]y'=x'\left(\ln x-1\right)+x\left(\ln x-1\right)'[/dispmath][dispmath]y'=\ln x-1+x\cdot\frac{1}{x}[/dispmath]
Nije mi jasan zadnji deo kako smo dobili?
[dispmath]y'=\ln x-1+1[/dispmath][dispmath]y'=\ln x[/dispmath]
Ekstremne tacke:
[dispmath]\ln x=0[/dispmath][dispmath]x=e^0[/dispmath][dispmath]x=1[/dispmath][dispmath]y(1)=\ln 1-1[/dispmath][dispmath]y(1)=0-1=-1[/dispmath]
[inlmath]T_\mathrm{MIN}(1,-1)[/inlmath] ovde je sve jasno.

[inlmath]Df:\;x>0[/inlmath] Sta predstavlja [inlmath]Df[/inlmath] i zasto moram to pisati ovde ?
Kod monotonosti u tabeli sa leve strane imam: [inlmath]\ln x[/inlmath], [inlmath]y'[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] a gore [inlmath]-\infty[/inlmath], [inlmath]0[/inlmath], [inlmath]1[/inlmath] i [inlmath]+\infty[/inlmath]. Zasto [inlmath]0[/inlmath] a ne [inlmath]-1[/inlmath]?

Drugi deo zadatka:

[dispmath]f'(x)=5x^4-20x^3+20x^2+3[/dispmath]
Ovaj korak mi nije jasan
[dispmath]f''(x)=20x^3-60x^2+40x[/dispmath]
Takodje ni ovaj
[dispmath]f''(x)=20x\left(x^2-3x+2\right)[/dispmath][dispmath]x_{1,2}=\frac{3\pm 2}{2}[/dispmath]
Ovde je [inlmath]x_1=2\;x_2=1[/inlmath] valjda...
[dispmath]f''(x)=20x(x-2)(x-1)[/dispmath]
Ostatak je jasan.

Ajde prvo od kraja. Da bi neki deo formule napisao nekom određenom bojom, koristi komandu \color{red}{ **}.
Red označava boju a možeš koristiti i blue, yellow, green... Izraz koji želiš da obojiš staviš između druge zagrade umesto zvezdica.
I još jedna stvar, pored equation tagova za latex imaš i InlineMath tagove koji prikazuju isto latex formule ali u manjim dimenzijama i u samom tekstu (in line). Probaj i njih da koristiš, pošto ovako napisani postovi su malo zamršeni

---

Kako se od [inlmath]x^2-2x+1[/inlmath] dobije [inlmath](x-1)^2[/inlmath]? U pitanju je faktorisanje polinoma drugog stepena, isto kao što se faktoriše kvadratna jednačina. Kada odrediš nule ([inlmath]x_{1/2}[/inlmath]) kvadratne jednačine [inlmath]ax^2+bx+c=0[/inlmath] tu jednačinu možeš pisati kao i [inlmath](x-x_1)(x-x_2)=0[/inlmath]. Naravno, ne moraš svaki put da rešavaš kvadratnu jednačinu, jer vremenom ovakve stvari se rade iz glave. Iz glave možeš da pokušaš da faktorišeš samo ako su koeficijenti "lepi brojevi" tj. ako je već predviđeno da u tom zadatku faktorišeš iz glave. Svoj rezultat moraš uvek da proveriš, tj. da vidiš da li je [inlmath](x-x_1)(x-x_2)=ax^2+bx+c[/inlmath]. U ovom slučaju, imali smo okolnost da je polinom oblika [inlmath]a^2-2ab+b^2[/inlmath] što se, naravno, može napisati kao [inlmath](a-b)^2[/inlmath].

---

Oblast definisanosti. Kad imaš logaritamsku funkciju kao u ovom slučaju, njen argument mora biti veći od nule, pošto je log definisan samo za pozitivne vrednosti. Ti si samo na kraju pogrešio. Imaš:
[dispmath](x-1)^2>0[/dispmath]
Kada korenuješ uzimaš u obzir i pozitivnu i negativnu vrednost, pa imaš dva slučaja:
[dispmath]\pm (x-1)>0\\ +(x-1)>0\hspace{3em}-(x-1)>0\\ \cdots\\ x>1\hspace{3em}x<1\\ Df=(-\infty,1)\cup (1,\infty)[/dispmath]

---

Drugi izvod je dobar. Imaš grešku [inlmath]4(x-2)-4x\color{red}{+}12[/inlmath] ali izgleda da si to pogrešno prepisao pošto je dobro gore. I piše se [inlmath](x-2)^4[/inlmath] pošto se primenjuje formula za izvod količnika, po kojoj se delilac kvadrira.

@ubavic, mala ispravka, kvadratna jednačina [inlmath]ax^2+bx+c=0[/inlmath] može se pisati kao [inlmath]{\color{red}a}\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)=0[/inlmath] (bio si zaboravio ovo [inlmath]a[/inlmath]). Često je u zadacima [inlmath]a=1[/inlmath] (kao i u ovom slučaju), pa se tada [inlmath]a\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)=0[/inlmath] svodi na [inlmath]\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)=0[/inlmath], ovako kako si ga ti napisao.

I, kod rešavanja
[dispmath]\left(x-1\right)^2>0[/dispmath]
mogli smo i ovako da rezonujemo: [inlmath]\left(x-1\right)^2[/inlmath], kao kvadrat neke vrednosti, uvek je [inlmath]\ge 0[/inlmath]. Pošto u nejednačini imamo strogu nejednakost, tj. [inlmath]\left(x-1\right)^2[/inlmath] sme biti samo veće od nule, ali ne i jednako nuli, iz toga sledi [inlmath]\left(x-1\right)^2\ne 0\quad\Rightarrow\quad x-1\ne 0\quad\Rightarrow\quad x\ne 1[/inlmath].

johnnybgood je napisao:Data je f-ja [dispmath]y=\ln\left(4x^2-8x+4\right)[/dispmath] Odredi intervale monotonosti i ekstremne tacke.
[dispmath]\vdots[/dispmath]
Kod monotonosti sa leve strane imamo [inlmath]x-1[/inlmath], [inlmath]y'[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] a gore [inlmath]-\infty[/inlmath], [inlmath]1[/inlmath] i [inlmath]+\infty[/inlmath]. Polja od [inlmath]-\infty[/inlmath] do [inlmath]1[/inlmath] su israfirana, valjda se ne trebaju traziti ili je nesto drugo u pitanju?

Ne vidim razlog da budu išrafirana, u tim poljima treba da stoje minusi, kako za faktor [inlmath]\left(x-1\right)[/inlmath], tako i za [inlmath]y'[/inlmath].

johnnybgood je napisao:Data je f-ja [dispmath]f(x)=\frac{4x-12}{x-2}[/dispmath] Odrediti intervale u kojima je f-ja konkavna, odnosno konveksna i naci tacku prevoja ukoliko je ima.
[dispmath]\vdots[/dispmath][dispmath]f'(x)=\frac{4}{(x-2)^2}[/dispmath]
ovde nisam siguran da li pise [inlmath]^2[/inlmath] ili [inlmath]^4[/inlmath]?
[dispmath]f''(x)=\frac{-2(x-2)\cdot 4}{(x-2)^4}[/dispmath]
Nije mi jasno kako smo dobili ovo?

Kao što ti Ubavic reče, to je dobijeno primenom formule za izvod količnika dve funkcije, [inlmath]\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}[/inlmath]. Ovde smo imali da je prva funkcija [inlmath]u=4[/inlmath] (tj. konstanta, a njen izvod je nula), a druga funkcija je [inlmath]v=\left(x-2\right)^2[/inlmath]:
[dispmath]f''\left(x\right)=\left[f'\left(x\right)\right]'=\left[\frac{4}{\left(x-2\right)^2}\right]'=\frac{\left(4\right)'\cdot\left(x-2\right)^2-4\left[\left(x-2\right)^2\right]'}{\left[\left(x-2\right)^2\right]^2}=[/dispmath][dispmath]=\frac{0\cdot\left(x-2\right)^2-4\cdot 2\left(x-2\right)\left(x-2\right)'}{\left(x-2\right)^4}=\frac{-8\left(x-2\right)\cdot 1}{\left(x-2\right)^4}=\frac{-8}{\left(x-2\right)^3}[/dispmath]
A moglo se računati i na ovaj način:
[dispmath]f''\left(x\right)=\left[f'\left(x\right)\right]'=\left[\frac{4}{\left(x-2\right)^2}\right]'=4\left[\frac{1}{\left(x-2\right)^2}\right]'=4\left[\left(x-2\right)^{-2}\right]'=[/dispmath][dispmath]=4\cdot\left(-2\right)\left(x-2\right)^{-3}\cdot\underbrace{\left(x-2\right)'}_1=-8\left(x-2\right)^{-3}=-\frac{8}{\left(x-2\right)^3}[/dispmath]

johnnybgood je napisao:Konveksnost i konkavnost
Levo u tabeli imamo: [inlmath]-8[/inlmath], [inlmath](x-2)^3[/inlmath], [inlmath]y''[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath]. Gore [inlmath]-\infty[/inlmath], [inlmath]2[/inlmath] i [inlmath]+\infty[/inlmath]. Odakle [inlmath]2[/inlmath]?

Vrednost [inlmath]2[/inlmath] predstavlja granicu intervala različitih predznaka za faktor [inlmath]\left(x-2\right)^3[/inlmath]. Za [inlmath]x<2[/inlmath] faktor [inlmath]\left(x-2\right)^3[/inlmath] je negativan, a za [inlmath]x>2[/inlmath] faktor [inlmath]\left(x-2\right)^3[/inlmath] je pozitivan.

johnnybgood je napisao:Data je f-ja [inlmath]y=x\ln x-x[/inlmath]. Odr. monotonost i ekstremne tacke.
[dispmath]\vdots[/dispmath][dispmath]y=x\ln x-x=x\left(\ln x-1\right)[/dispmath]
Po kojoj formuli je ubaceno [inlmath]-1[/inlmath]?

Distributivnost množenja u odnosu na oduzimanje, [inlmath]\left(ab-ac\right)=a\left(b-c\right)[/inlmath]:
[dispmath]y=x\ln x-x=x\ln x-x\cdot 1=x\left(\ln x-1\right)[/dispmath]

johnnybgood je napisao:[dispmath]y'=x'\left(\ln x-1\right)+x\left(\ln x-1\right)'[/dispmath][dispmath]y'=\ln x-1+x\cdot\frac{1}{x}[/dispmath]
Nije mi jasan zadnji deo kako smo dobili?

[dispmath]y'=x'\left(\ln x-1\right)+x\left(\ln x-1\right)'=1\cdot\left(\ln x-1\right)+x\left[\left(\ln x\right)'-\left(1\right)'\right]=[/dispmath][dispmath]=\ln x-1+x\left(\frac{1}{x}-0\right)=\ln x-1+x\cdot\frac{1}{x}[/dispmath]

johnnybgood je napisao:[inlmath]Df:\;x>0[/inlmath] Sta predstavlja [inlmath]Df[/inlmath] i zasto moram to pisati ovde ?

Kao i u prethodnom zadatku, a i u svim ovakvim zadacima, [inlmath]D_f[/inlmath] predstavlja domen funkcije, tj. skup svih vrednosti promenljive [inlmath]x[/inlmath] za koje je vrednost funkcije definisana. Da bi logaritam bio definisan, njegov argument mora biti strogo veći od nule, a pošto je u ovom zadatku argument logaritma [inlmath]x[/inlmath], da bi logaritam bio definisan, a time bila definisana i funkcija, mora biti [inlmath]x>0[/inlmath].

johnnybgood je napisao:Kod monotonosti u tabeli sa leve strane imam: [inlmath]\ln x[/inlmath], [inlmath]y'[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] a gore [inlmath]-\infty[/inlmath], [inlmath]0[/inlmath], [inlmath]1[/inlmath] i [inlmath]+\infty[/inlmath]. Zasto [inlmath]0[/inlmath] a ne [inlmath]-1[/inlmath]?

[inlmath]0[/inlmath] zbog toga što, kako sam malopre i napisao, za vrednosti [inlmath]x[/inlmath] manje od nule ni funkcija ni njen izvod nisu definisani. A zbog čega misliš da bi trebalo staviti [inlmath]-1[/inlmath]?

johnnybgood je napisao:Data je f-ja [dispmath]f(x)=x^5-5x^4+\frac{20}{3}x^3+3x-5[/dispmath] odr. intervale u kojima je f-ja konkavna odnosno konveksna i naci tacku prevoja ako ima.
[dispmath]\vdots[/dispmath][dispmath]f'(x)=5x^4-20x^3+20x^2+3[/dispmath]
Ovaj korak mi nije jasan

[dispmath]f'\left(x\right)=\left(x^5-5x^4+\frac{20}{3}x^3+3x-5\right)'=\left(x^5\right)'-\left(5x^4\right)'+\left(\frac{20}{3}x^3\right)'+\left(3x\right)'-\left(5\right)'=[/dispmath][dispmath]=\left(x^5\right)'-5\left(x^4\right)'+\frac{20}{3}\left(x^3\right)'+3\left(x\right)'-0=5x^4-5\cdot 4x^2+\frac{20}{3}\cdot 3x^2+3\cdot 1=[/dispmath][dispmath]=5x^4-20x^2+20x^2+3[/dispmath]

johnnybgood je napisao:[dispmath]f''(x)=20x^3-60x^2+40x[/dispmath]
Takodje ni ovaj

Na istom principu kao malopre. Možeš pokušati sam.

johnnybgood je napisao:[dispmath]f''(x)=20x(x^2-3x+2)[/dispmath][dispmath]x_{1,2}=\frac{3\pm 2}{2}[/dispmath]

Ne, nego
[dispmath]x_{1,2}=\frac{3\pm 1}{2}[/dispmath]

Daniel je napisao:

johnnybgood je napisao:Data je f-ja [dispmath]f(x)=x^5-5x^4+\frac{20}{3}x^3+3x-5[/dispmath] odr. intervale u kojima je f-ja konkavna odnosno konveksna i naci tacku prevoja ako ima.
[dispmath]\vdots[/dispmath][dispmath]f'(x)=5x^4-20x^3+20x^2+3[/dispmath]
Ovaj korak mi nije jasan

[dispmath]f'\left(x\right)=\left(x^5-5x^4+\frac{20}{3}x^3+3x-5\right)'=\left(x^5\right)'-\left(5x^4\right)'+\left(\frac{20}{3}x^3\right)'+\left(3x\right)'-\left(5\right)'=[/dispmath][dispmath]=\left(x^5\right)'-5\left(x^4\right)'+\frac{20}{3}\left(x^3\right)'+3\left(x\right)'-0=5x^4-5\cdot 4x^2+\frac{20}{3}\cdot 3x^2+3\cdot 1=[/dispmath][dispmath]=5x^4-20x^2+20x^2+3[/dispmath]

Mislim da si ovde pogresio kod
[dispmath]=5x^4-20x^2+20x^2+3[/dispmath]
Treba da je [dispmath]=5x^4-20x^3+20x^2+3[/dispmath]

johnnybgood je napisao:Mislim da si ovde pogresio kod
[dispmath]=5x^4-20x^2+20x^2+3[/dispmath]
Treba da je [dispmath]=5x^4-20x^3+20x^2+3[/dispmath]

Bravo! Imaš oštro oko.

[dispmath]y=\ln\left(4x^2-8x+4\right)[/dispmath][dispmath]y'=\frac{1}{4x^2-8x+4}\cdot(8x-8)[/dispmath]
Kako se dobija [inlmath](8x-8)[/inlmath]?

Prvo primeniš pravilo za kompoziciju funkcija. Dobićeš proizvod izvoda [inlmath]\ln[/inlmath] funkcije i izvoda polinoma koji je argument [inlmath]\ln[/inlmath] funkcije. Izvod polinoma [inlmath]4x^2-8x+4[/inlmath] će biti [inlmath](8x-8)[/inlmath]

[dispmath]f'=\frac{(4x-12)'(x-2)-(4x-12)(x-2)'}{(x-2)^2}[/dispmath][dispmath]f'=\frac{4(x-2)-4x+12}{(x-2)^2}[/dispmath]
Zasto [inlmath]4x+12[/inlmath] a ne [inlmath]4x-12[/inlmath]?

Pa minus ispred zagrade prelazi unutar zagrade na oba člana, pri čemu se kod drugog člana krati sa postojećim minusom (minus i minus daju plus), pa imamo: [inlmath]-(4x-12)=-4x-(-12)=-4x+12[/inlmath]

[dispmath]f''(x)=20x\left(x^2-3x+2\right)[/dispmath][dispmath]x_{1,2}=\frac{3\pm 1}{2}[/dispmath]
Moze detaljnije ovaj prelaz

Može, samo bih zamolio, ubuduće sva pitanja u vezi s izvodima postavljaj u rubrici „Izvodi“.

[dispmath]f''\left(x\right)=20x\left(x^2-3x+2\right)[/dispmath]
Cilj je faktorisati taj izraz, a da bismo to uradili, potrebno je da odredimo nule kvadratne funkcije [inlmath]x^2-3x+2[/inlmath].
[dispmath]x_{1,2}=\frac{-\left(-3\right)\pm\sqrt{\left(-3\right)^2-4\cdot 1\cdot 2}}{2\cdot 1}=\frac{3\pm 1}{2}[/dispmath][dispmath]x_1=1,\quad x_2=2[/dispmath][dispmath]\Rightarrow\quad f''\left(x\right)=20x\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)=20x\left(x-1\right)\left(x-2\right)[/dispmath]

Nisam opet razumeo odakle [inlmath]4\cdot 1\cdot 2[/inlmath] i ispod [inlmath]2\cdot 1[/inlmath]?

[dispmath]ax^2+bx+c=a\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right),\qquad x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}[/dispmath]

Ako ti ovaj način nije jasan, možeš faktorisati taj izraz i bez kvadratne jednačine... Recimo, ovako:
[dispmath]x^2-3x+2=x^2-2x-x+2=x(x-2)-(x-2)=(x-2)(x-1)[/dispmath]