MATEMANIJA

Data je funkcija [inlmath]f(x)=|x+2|e^{-\frac{1}{|x|}}[/inlmath]. Potrebno je:

1. Odrediti konstante [inlmath]a[/inlmath], [inlmath]b[/inlmath] i [inlmath]c[/inlmath] tdj. [inlmath]f(x)=ax+b+\frac{c}{x}+\sigma\left(\frac{1}{x}\right)[/inlmath] kada [inlmath]x\to\infty\;\land\;x\to-\infty[/inlmath]

2. Ispitati tok i skicirati grafik

3. Ispitati diferencijabilnost

4. Odrediti jednačinu tangente na grafik u tački [inlmath](1,f(1))[/inlmath]

Prvi deo dosta liči na Tejlorov razvoj, ali nemam ideju kako da ga uradim, drugi deo znam u teoriji ali imam nedoumica zbog apsolutnih zagrada, treći deo mi je takođe poznat u teoriji, četvrti deo u životu nisam video.

Ako može pomoć oko ova četiri dela i malo detaljnije objašnjenje kako se rade prvi i četvrti deo. Hvala.

Ako iskoristimo osobine apsolutne vrednosti, imajući u vidu da su "kritične tačke" na osi [inlmath]x[/inlmath] brojevi [inlmath]-2[/inlmath] (za prvu apsolutnu vrednost) i [inlmath]0[/inlmath] (za drugu apsolutnu vrednost), datu funkciju možemo zapisati na sledeći način (napominjem da funkcija nije definisana u broju nula)
[dispmath]f(x)=\begin{cases}
-(x+2)\cdot e^\frac{1}{x}, & x<-2\\
(x+2)\cdot e^\frac{1}{x}, & -2\le x<0\\
(x+2)\cdot e^{-\frac{1}{x}}, & x>0
\end{cases}[/dispmath] 2. Treba ispitati svaku od tri funkcije (na odgovarajućem intervalu), a grafik funkcije [inlmath]f(x)[/inlmath] dobijamo "spajanjem" delova grafika ispitanih funkcija. Skiciramo onaj deo grafika prve funkcije koji je levo od prave [inlmath]x=-2[/inlmath], od druge funkcije uzimamo deo grafika između prave [inlmath]x=-2[/inlmath] i prave [inlmath]x=0[/inlmath], a od grafika treće uzimamo deo koji je desno od prave [inlmath]x=0[/inlmath]. Prvi i drugi deo su "spojeni" tačkom [inlmath](-2,0)[/inlmath] (u toj tački je i minimum funkcije), a drugi i treći deo su "razdvojeni" tačkom [inlmath](0,0)[/inlmath] (granične vrednosti funkcije [inlmath]f(x)[/inlmath] kada [inlmath]x[/inlmath] teži [inlmath]+0[/inlmath], odnosno [inlmath]-0[/inlmath], imaju istu vrednost - nulu, ali u nuli funkcija nije definisana). Funkcija ima dve kose asimptote.
Pretpostavljam da su ove napomene dovoljne. Ako bude potrebno, skiciraću i grafik.
3. Funkcija, iako neprekidna u tački [inlmath](-2,0)[/inlmath], odnosno za [inlmath]x=-2[/inlmath], nije diferencijabilna, zato što levi izvod funkcije [inlmath]f(x)[/inlmath] u broju [inlmath]-2[/inlmath] (možemo ga izračunati tako što u prvi izvod prve funkcije zamenimo vrednost [inlmath]-2[/inlmath]) nije jednak desnom izvodu u broju [inlmath]-2[/inlmath] (možemo ga izračunati tako što u prvi izvod druge funkcije zamenimo vrednost [inlmath]-2[/inlmath]).
4. Pošto je po definiciji prvi izvod [inlmath]f'(x_0)[/inlmath] funkcije [inlmath]f(x)[/inlmath] u broju [inlmath]x_0[/inlmath], jednak koeficijentu pravca tangente grafika funkcije u tački [inlmath](x_0,f(x_0)[/inlmath], korišćenjem formule za jednačinu prave kroz datu tačku, dobijamo da je jednačina tangente krive u toj tački
[dispmath](t)\colon y-f(x_0)=f'(x_0)\cdot(x-x_0)[/dispmath] Zadatke kao što je prvi deo ovog zadatka ranije nisam rešavao pa ne znam da ga uradim. Možda taj deo nije komplikovan. Pretpostavljam da je dovoljno da znamo definiciju pojma [inlmath]\sigma\bigl(\phi(x)\bigr)[/inlmath], a ja tu definiciju ne znam.

Napomena: Ako bi pomoću funkcije [inlmath]f(x)[/inlmath] definisali funkciju [inlmath]g(x)[/inlmath]
[dispmath]g(x)=\begin{cases}
0, & x=0\\
f(x), & x\ne0
\end{cases}[/dispmath] ta funkcija bi bila definisna i neprekidna na celom skupu [inlmath]\mathbb{R}[/inlmath], a u broju [inlmath]-2[/inlmath] ne bi bila diferencijabilna.

jans je napisao:Treba ispitati svaku od tri funkcije (na odgovarajućem intervalu), a grafik funkcije [inlmath]f(x)[/inlmath] dobijamo "spajanjem" delova grafika ispitanih funkcija.

Da li ovde za domen svake pojedinačne funkcije uzimamo [inlmath]x\in\mathbb{R}\setminus\{0\}[/inlmath] ili samo njihov domen za skiciranje tj. u prvom slučaju [inlmath]x\in(-\infty,-2)[/inlmath]? Pretpostavljam da su oba postupka tačna, jer na kraju iz prve funkcije uzimamo samo deo grafika sa tog domena kao što si već napomenuo.

Nije potrebno ispitivati sve tri funkcije na celom skupu [inlmath]D[/inlmath] (oblasti definisanosti). Treću funkciju ispitujemo na intervalu [inlmath](0,+\infty)[/inlmath] a njene osobine zapisujemo kao osobine date f-je (zbog [inlmath]0[/inlmath] u kojoj data f-ja nije definisana). Neke od osobina (verovatno nije moguće dati neko generalno uputstvo) prvih dveju f-ja ispitujemo na celom intervalu [inlmath]I=(-\infty,0)[/inlmath].
Za drugu funkciju ne proveravamo da li ima kose asimptote (te asimptote tražimo kad [inlmath]x[/inlmath] teži beskonačnosti).
Međutim, za prve dve f-je, pomoću znaka prvog izvoda, proveravamo rašćenje i opadanje na intervalu [inlmath](-\infty,0)[/inlmath], a iz toga zaključujemo da je prva f-ja opadajuća do broja [inlmath]-2[/inlmath], a druga od tog broja rastuća. A pošto je na intervalu [inlmath]I[/inlmath] prva f-ja neprekidna, a ima istu vrednost u broju [inlmath]-2[/inlmath] kao druga f-ja, sledi da u broju [inlmath]-2[/inlmath] data f-ja ima minimum (ovaj minimum nije moguće odrediti "šablonom" - ekstremum može biti tamo gde je prvi izvod jednak nuli, zato što data f-ja u broju [inlmath]-2[/inlmath] nije diferencijabilna).
Na intervalu [inlmath][-2,0)[/inlmath] ekstremnu vrednost određujemo samo za drugu f-ju (takođe i iz znaka prvog izvoda prve f-je vidimo da ta f-ja na ovom intervalu ima negativan minimum, a apsolutna vrednost će taj minimum "pretvoriti" u maksimum)...
Predlažem ti, da bi ovakve zadatke bolje "shvatio", da se malo podsetiš, odnosno rešiš neke jednostavnije zadatke. Na primer da ispitaš funkcije tipa [inlmath]y=|x+3|[/inlmath], ili [inlmath]y=\left|x^2-4\right|[/inlmath]. Grafike ovakvih f-ja možemo konstruisati pomoću određenog broja tačaka (tablice uređenih parova) a osobine "pročitati" sa grafika. Grafike ovakvih f-ja konstruišemo tako što najpre skiciramo grafik odgovarajuće f-je bez apsolutne vrednosti, a onda tačke dela grafika koji je ispod ose [inlmath]x[/inlmath] (koje imaju negativno [inlmath]y[/inlmath]) preslikamo simetrično u odnosu na osu [inlmath]x[/inlmath], da bi (zbog apsolutne vrednosti) [inlmath]y[/inlmath] bilo pozitivno.

DaniloJ je napisao:1. Odrediti konstante [inlmath]a[/inlmath], [inlmath]b[/inlmath] i [inlmath]c[/inlmath] tdj. [inlmath]f(x)=ax+b+\frac{c}{x}+\sigma\left(\frac{1}{x}\right)[/inlmath] kada [inlmath]x\to\infty\;\land\;x\to-\infty[/inlmath]

DaniloJ je napisao:Prvi deo dosta liči na Tejlorov razvoj, ali nemam ideju kako da ga uradim,

Sad videh da na ovaj deo pitanja nije odgovoreno. Da, ovo [inlmath]\sigma\left(\frac{1}{x}\right)[/inlmath] nam nekako i sugeriše da treba primeniti Tejlorov razvoj ([inlmath]\sigma\left(\frac{1}{x}\right)[/inlmath], kao što znamo, predstavlja izraz koji brže teži nuli (u ovom slučaju za [inlmath]x\to\pm\infty[/inlmath]) nego što [inlmath]\frac{1}{x}[/inlmath] teži nuli).
Da bismo mogli da primenimo Tejlorov razvoj, potrebno je uvesti odgovarajuću smenu. Za [inlmath]x\to-\infty[/inlmath], posmatramo deo funkcije [inlmath]f(x)[/inlmath] na [inlmath]I[/inlmath] intervalu, tj. [inlmath]f_1(x)=-(x+2)\cdot e^\frac{1}{x}[/inlmath]. Odgovarajuća smena ovde će biti [inlmath]\frac{1}{x}=t[/inlmath], [inlmath]x=\frac{1}{t}[/inlmath], [inlmath]t\to0^-[/inlmath], kako bismo dobili [inlmath]e^t[/inlmath] koje zatim možemo razviti kao [inlmath]\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{t^k}{k!}[/inlmath]:
[dispmath]-(x+2)e^\frac{1}{x}=-\left(\frac{1}{t}+2\right)e^t[/dispmath] Pošto su nam potrebni članovi zaključno s onim koji sadrži [inlmath]\frac{1}{x}[/inlmath] (nisu nam potrebni [inlmath]\frac{1}{x^2}[/inlmath], [inlmath]\frac{1}{x^3}[/inlmath] itd. zbog onog [inlmath]\sigma\left(\frac{1}{x}\right)[/inlmath]), ovde su nam s obzirom na smenu [inlmath]\frac{1}{x}=t[/inlmath] potrebni članovi do [inlmath]t[/inlmath]. To znači da, pošto u zagradi pre [inlmath]e^t[/inlmath] imamo sabirak [inlmath]\frac{1}{t}[/inlmath], treba [inlmath]e^t[/inlmath] da razvijamo do člana koji sadrži [inlmath]t^2[/inlmath], kako bi on pri množenju s tim [inlmath]\frac{1}{t}[/inlmath] dao sabirak koji sadrži [inlmath]t[/inlmath]:
[dispmath]-\left(\frac{1}{t}+2\right)\left(1+t+\frac{t^2}{2}+\sigma\left(t^2\right)\right)=-\frac{1}{t}-3-\frac{5}{2}t+\sigma(t)[/dispmath] I, nakon vraćanja smene,
[dispmath]f_1(x)=-x-3-\frac{5}{2x}+\sigma\left(\frac{1}{x}\right)[/dispmath] Odavde sada, upoređivanjem sa [inlmath]f(x)=ax+b+\frac{c}{x}+\sigma\left(\frac{1}{x}\right)[/inlmath] nije teško odrediti konstante [inlmath]a[/inlmath], [inlmath]b[/inlmath] i [inlmath]c[/inlmath].

---

Vrlo slično se radi i za [inlmath]x\to+\infty[/inlmath], s tim da tada treba posmatrati funkciju u [inlmath]III[/inlmath] intervalu, tj. [inlmath]f_3(x)=(x+2)e^{-\frac{1}{x}}[/inlmath], pa je ovde najzgodnije uzeti smenu [inlmath]-\frac{1}{x}=t[/inlmath]. Nakon što sve uradiš kako treba, dobićeš [inlmath]f_3(x)=x+1-\frac{3}{2x}+\sigma\left(\frac{1}{x}\right)[/inlmath]...