MATEMANIJA

Dosta se bavim funkcijama u zadje vreme pa mi je eto palo i ovo na pamet
Da li je poznat analiticki nacin odredjivanja funkcije na osnovu poznatog grafika (mozda u vidu nekog kompjuterskog programa ako je lakse) ?
Neka krivulja se moze menjati i na vise nacina mislim od neke do neke tacne po nekoj funkciji od sledece do sledece po nekoj drugoj...pa da li bi se na osnovu bilo kakve krive mogle odrediti funkcije promene te krive ?

Ne bih se usudio kas'ti da je skroz nemoguće, s obzirom na razne stvari za koje bi pre neku deceniju svako normalan rekao da su apsolutno neostvarive, a danas ih, zahvaljujući tehnološkoj revoluciji, koristimo svakodnevno. Ali, ja za tako nešto nikad nisam čuo, a i izgleda mi vrlo malo verovatno da se može napraviti neki univerzalan postupak određivanja analitičkog oblika funkcije na osnovu grafika, za opšti slučaj. Međutim, postoji dosta zadataka u kojima imamo grafik neke jednostavne funkcije i s kojeg treba prepoznati tu funkciju i tačno odrediti njene parametre, kao, recimo, u ovom zadatku.

A moguće je ponekad prepoznati i kombinaciju dve funkcije, kada je to baš očigledno, kao u ovom primeru:


Nije teško uočiti da je to kombinacija, tj. zbir, jedne linearne i jedne sinusne funkcije, tako da bi rezultujuća funkcija bila oblika
[dispmath]y=Ax+B+C\sin\left(Dx+E\right)[/dispmath]
Pa eto, ako želiš malo da se zanimaš, pošto te funkcije interesuju, možeš pokušati da na osnovu ovog grafika odrediš parametre [inlmath]A[/inlmath], [inlmath]B[/inlmath], [inlmath]C[/inlmath], [inlmath]D[/inlmath] i [inlmath]E[/inlmath]. Vrlo je zanimljivo, videćeš.

Mislio sam da će neko spomenuti Furijeov red pa reko da ostavim onima koji to bolje znaju od mene...
Koliko mi je poznato, korišćenjem Furijeove transformacije (FT) moguće je dobiti konačan red koji bi bar približno oponašao početnu funkciju. Ova činjenica se mnogo koristi u nauci i tehnici danas (čak se koristi i u mp3 i jpeg kompresiji). Pored korisne primene nađena je i "zabavna" primena FT:



Ima još mnogo ovakvih primera. Jednačine za ovakve grafove su dosta ružnijikave i velike (link). Na ovom blogu je detaljno objašnjen postupak dobijanja takvih jednačina.

Vrlo zanimljivi primeri, hvala za link.

Bio sam u dilemi da li da spomenem Furijea, budući da bi pokretaču teme (pretpostavljam) više bilo od interesa da npr. analizirajući grafik funkcije [inlmath]f\left(x\right)=\frac{e^{5x^2+8x-2}}{\frac{3}{x}+\left(x^3+3\right)\ln\left(x+3\right)}[/inlmath] dobije tačno taj analitički izraz, nego ogromnu sumu sinusoida. Inače, funkcija se može tačno zameniti konačnim Furijeovim redom samo onda kad se ta funkcija sastoji od konačnog broja sinusoida, dok za periodične funkcije u opštem obliku imamo beskonačan Furijeov red, a za aperiodične funkcije imamo i beskonačan i neprebrojiv Furijeov red, pa samim tim to onda i prestaje da bude red, već postaje kontinualna funkcija. Naravno, tada se vrše aproksimacije, pa se, kako i sam kažeš, funkcije mogu aproksimirati konačnim Furijeovim redom, do one tačnosti koja nam je potrebna. Upravo zbog toga pomenuti MP3 i JPEG i jesu lossy formati, tj. formati s gubicima kvaliteta, budući da se i u njima funkcija aproksimira konačnim brojem Furijeovih koeficijenata...

Našao sam par snimaka na kojima se lepo vidi ono o čemu smo diskutovali gore. Ima još dosta sličnih primera na YT.

Prikaz "funkcionisanja" jednačina o kojima sam pisao u prethodnom postu:




Lep prikaz korišćenja FT za kompresiju slika: