MATEMANIJA

Ispitaj neprekidnost funkcije?
[dispmath]f\left(x\right)=\begin{cases}
\frac{1}{1-e^\frac{x}{1-x^2}}, & x\in\mathbb{R}\setminus\left\{-1,0,1\right\}\\[3ex]
0, & x\in\left\{-1,0,1\right\}
\end{cases}[/dispmath]

Ispitaj, onako usput, i Pravilnik foruma – pogotovo tačke 13, 14. i 6.

Treba da pronađeš vrednosti limesa u okolini tačaka u kojima je funkcija dodefinisana (tačke [inlmath]-1[/inlmath], [inlmath]0[/inlmath] i [inlmath]1[/inlmath]), pa ako su vrednosti tih limesa jednake nuli (tj. jednake onoj vrednosti koju ovako dodefinisana funkcija ima u tim tačkama), tada je funkcija u toj tački neprekidna, a u suprotnom je prekidna.

U sve tri tačke limes ne postoji, jer levi i desni limes nisu jednaki. Stoga, prekid nije otklonjiv, i dodefinisanjem vrednosti u tačkama gde funkcija nije definisana, prekid nije otklonjen.

Recimo, u nuli:
[dispmath]\lim_{x\to 0^+}\frac{1}{1-e^{\frac{x}{1-x^2}}}=-\infty[/dispmath][dispmath]\lim_{x\to 0^-}\frac{1}{1-e^{\frac{x}{1-x^2}}}=+\infty[/dispmath]
Funkcija ovde ima prekid druge vrste.

Slično:
[dispmath]\lim_{x\to 1^+}\frac{1}{1-e^{\frac{x}{1-x^2}}}=1[/dispmath][dispmath]\lim_{x\to 1^-}\frac{1}{1-e^{\frac{x}{1-x^2}}}=0[/dispmath]
Granične vrednosti su ovde konačne, a različite, pa u datoj tački imamo prekid prve vrste.

I:
[dispmath]\lim_{x\to -1^+}\frac{1}{1-e^{\frac{x}{1-x^2}}}=1[/dispmath][dispmath]\lim_{x\to -1^-}\frac{1}{1-e^{\frac{x}{1-x^2}}}=0[/dispmath]
I u ovoj tački su oba limesa konačna, ali različita, pa je tu reč o prekidu prve vrste.

Da li moze objasnjenje kako da dobijem u ovom koraku da je to jednako [inlmath]1[/inlmath], jer dobijam da je jednako [inlmath]0[/inlmath]
[dispmath]\lim_{x\to 1^+}\frac{1}{1-e^{\frac{x}{1-x^2}}}=1[/dispmath]

[dispmath]x\to 1^+\quad\Rightarrow\quad x^2\to 1^+\quad\Rightarrow\quad 1-x^2\to 0^-\quad\Rightarrow\quad\frac{x}{1-x^2}\to\frac{1}{0^-}=-\infty\quad\Rightarrow[/dispmath][dispmath]\Rightarrow\quad e^\frac{x}{1-x^2}\to e^{-\infty}=0\quad\Rightarrow\quad 1-e^\frac{x}{1-x^2}\to 1\quad\Rightarrow\quad\frac{1}{1-e^\frac{x}{1-x^2}}\to 1[/dispmath]