MATEMANIJA

Kako naći domen ove funkcije?
[dispmath]y=\frac{x+y}{x^2-5xy+6y^2}[/dispmath]
U rešenju stoji da bi trebalo da [inlmath]x[/inlmath] bude različit od [inlmath]3y[/inlmath] i [inlmath]2y[/inlmath], što je logično, ali mi nije baš jasno da li postoji neki metod kojim se stiže do takvih rešenja ili je u pitanju čisto logičko zaključivanje.

Faktorišeš izraz u imeniocu, bilo po [inlmath]x[/inlmath], bilo po [inlmath]y[/inlmath], prema formuli [inlmath]ax^2+bx+c=a\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right),\quad x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}[/inlmath].
Ako faktorišeš po [inlmath]x[/inlmath], onda je [inlmath]a=1,\:b=-5y,\:c=6y^2[/inlmath].
Ako faktorišeš po [inlmath]y[/inlmath], onda je [inlmath]a=6,\:b=-5x,\:c=x^2[/inlmath].
U oba slučaja dobiješ kao faktorizovani oblik [inlmath]\left(x-3y\right)\left(x-2y\right)[/inlmath]. Da bi zadati izraz bio definisan, nijedan od ova dva faktora ne sme biti jednak nuli, jer bi onda i sam imenilac bio nula.

Poenta je da dole (u imeniocu) ne sme biti nula. To je ovde jedini uslov za definisanost.

To dalje znači da je:
[dispmath]x^2-5xy+6y^2\neq 0[/dispmath][dispmath]x^2-3xy- 2xy+6y^2\neq 0[/dispmath][dispmath]x(x-3y)-2y(x-3y)\neq 0[/dispmath][dispmath](x- 2y)(x-3y)\neq 0[/dispmath]
Prema tome, [inlmath]x\neq 2y[/inlmath] i [inlmath]x\neq 3y[/inlmath] (oba uslova moraju da važe)