MATEMANIJA

Pomoc oko jednog zadatka za prijemni koji glasi ? razlika izmedju najvece i najmanje vrednosti funkcije na intervalu [inlmath][-3,3][/inlmath] ,a funkcija glasi [inlmath]f(x)=4x-6-x^2[/inlmath]...(rezultat je [inlmath]25[/inlmath])

Dobro došao na Matemaniju, ali uz molbu da pročitaš naš pravilnik. Radi budućih postova...

Super što si rešio zadatak, ali, pošto sam upravo završio s pisanjem odgovora, neka ga ovde, možda će nekome i zatrebati.

Funkcija je, dakle, [inlmath]f\left(x\right)=-x^2+4x-6[/inlmath] – kvadratna funkcija, kod koje je koeficijent uz kvadratni član negativan (tj. [inlmath]-1[/inlmath]), pa je njeno teme okrenuto prema gore (i, samim tim, predstavlja maksimum te funkcije), a njeni kraci prema dole. Pošto tražimo najveću i najmanju vrednost funkcije na intervalu [inlmath]\left[-3,3\right][/inlmath], prvo što treba da uradimo to je da odgovorimo na pitanje da li se teme funkcije (koje je u ovom slučaju maksimum) nalazi unutar datog intervala.
To činimo pomoću formule za [inlmath]x[/inlmath]-koordinatu temena kvadratne funkcije, koja glasi [inlmath]x_T=-\frac{b}{2a}[/inlmath], gde su [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath] koeficijenti kvadratne funkcije koja je u opštem obliku zapisana kao [inlmath]f\left(x\right)=ax^2+bx+c[/inlmath]. Znači, u ovom slučaju,
[dispmath]x_T=-\frac{4}{2\cdot\left(-1\right)}=2[/dispmath]
Pošto je [inlmath]x_T=2[/inlmath], a [inlmath]2\in\left[-3,3\right][/inlmath], znači da se teme nalazi unutar intervala [inlmath]\left[-3,3\right][/inlmath]. Sada treba da nađemo vrednost tog maksimuma i, pošto je to maksimalna vrednost cele te funkcije, a taj maksimum se nalazi unutar datog intervala, to će biti njena maksimalna vrednost i na tom intervalu.
Ta maksimalna vrednost funkcije biće jednaka [inlmath]y[/inlmath]-koordinati temena. Nju možemo sada odrediti na dva načina. Jedan je, da vrednost [inlmath]x[/inlmath]-koordinate temena koju smo malopre našli uvrstimo u samu funkciju: [inlmath]-x_T^2+4x_T-6=-2^2+4\cdot 2-6=-2[/inlmath], a drugi je da je direktno izračunamo iz formule za [inlmath]y[/inlmath]-koordinatu temena, koja glasi [inlmath]y_T=\frac{4ac-b^2}{4a}[/inlmath], pa je to onda [inlmath]\frac{4\left(-1\right)\left(-6\right)-4^2}{4\left(-1\right)}=-2[/inlmath].
Znači, najveća vrednost funkcije na intervalu [inlmath]\left[-3,3\right][/inlmath] je ista kao i najveća vrednost cele te funkcije i iznosi [inlmath]-2[/inlmath].

E, sad, minimalna vrednost. Pošto je sama ova kvadratna funkcija ograničena samo s gornje strane, dok joj kraci idu u [inlmath]-\infty[/inlmath], njena minimalna vrednost na zadatom intervalu (sada treba zamisliti skicu te funkcije) nalaziće se na jednoj od dve granice tog intervala. Možemo sada da računamo [inlmath]f\left(-3\right)[/inlmath] i [inlmath]f\left(3\right)[/inlmath] i ona vrednost koja je manja, predstavljaće minimalnu vrednost funkcije na tom intervalu. Međutim, nema potrebe da računamo i jednu i drugu vrednost, jer znamo da je kvadratna funkcija simetrična u odnosu na svoje teme, a pošto je [inlmath]x[/inlmath]-koordinata temena bliža desnoj granici ([inlmath]3[/inlmath]) nego levoj ([inlmath]-3[/inlmath]), znamo i bez računanja da će funkcija imati manju vrednost u onoj granici intervala koja je udaljenija od temena, a to je, dakle, [inlmath]-3[/inlmath]. Prema tome, minimalna vrednost funkcije je [inlmath]f\left(-3\right)[/inlmath]:
[dispmath]f\left(-3\right)=-\left(-3\right)^2+4\left(-3\right)-6=-27[/dispmath]
Ostaje da nađemo razliku najveće i najmanje vrednosti na datom intervalu, a to je [inlmath]25[/inlmath], kao što i piše u rešenju.