MATEMANIJA

Ako je [inlmath]f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}[/inlmath] i [inlmath]f(x)+2f(1-x)=x[/inlmath] za svako [inlmath]x\in\mathbb{R}[/inlmath], onda je [inlmath]f(x)[/inlmath] jednako:

[inlmath]\displaystyle A)\;-x+\frac{2}{3};\quad[/inlmath] [inlmath]\displaystyle B)\;x-\frac{2}{3};\quad[/inlmath] [inlmath]\displaystyle C)\;x+\frac{2}{3};\quad[/inlmath] [inlmath]\displaystyle D)\;x-\frac{1}{3};\quad[/inlmath] [inlmath]E)\;x(1-x).[/inlmath]

Mozes li objasnjenje ovog zadatka? Ja sam radio da mi je to u zagradi vece od [inlmath]0[/inlmath] i tako resavao al ne dobijem dobro resenje...

---

Za koje vrednosti realnog parametra [inlmath]m[/inlmath] je funkcija
[dispmath]f(x)=\left[\log_{1/2}\frac{x^2+(m-3)x+1}{2x^2-5x+5}\right]^{-1/2}[/dispmath]
definisana za svako realno [inlmath]x[/inlmath]?

[inlmath]A)\;-6<m<5;\quad[/inlmath] [inlmath]B)\;\text{za svako realno }m;\quad[/inlmath] [inlmath]\enclose{circle}{C)}\;1<m<2;\quad[/inlmath] [inlmath]D)\;-6<m<2;\quad[/inlmath] [inlmath]E)\;\text{ni za jedno }m.[/inlmath]

I ovaj ako nije problem...

smAshh je napisao:Mozes li objasnjenje ovog zadatka? Ja sam radio da mi je to u zagradi vece od [inlmath]0[/inlmath] i tako resavao al ne dobijem dobro resenje...

Ne znam kome se od nas obraćaš, ali budući da sam se ja tu zatekao, evo ja ću ti i odgovoriti.

Ne, to u zagradi uopšte ne mora biti veće od nule, nigde u zadatku nije dat taj uslov. Funkcija je data izrazom[dispmath]f\left(x\right)+2f\left(1-x\right)=x\quad\left(1\right)[/dispmath]E sad, možemo uvesti smenu
[inlmath]1-x=t[/inlmath]
[inlmath]x=1-t[/inlmath]
pa izraz za funkciju postaje[dispmath]f\left(1-t\right)+2f\left(t\right)=1-t[/dispmath]i, ako umesto oznake [inlmath]t[/inlmath] u tom izrazu napišemo oznaku [inlmath]x[/inlmath], izraz postaje[dispmath]f\left(1-x\right)+2f\left(x\right)=1-x\quad\left(2\right)[/dispmath]Izraze [inlmath]\left(1\right)[/inlmath] i [inlmath]\left(2\right)[/inlmath] možemo posmatrati kao sistem jednačina koji možemo rešiti:[dispmath]f\left(x\right)+2f\left(1-x\right)=x[/dispmath][dispmath]f\left(1-x\right)+2f\left(x\right)=1-x[/dispmath]Drugu jednačinu pomnožimo sa [inlmath]2[/inlmath] a zatim od nje oduzmemo prvu i dobijemo:[dispmath]3f\left(x\right)=-3x+2[/dispmath][dispmath]\underline{f\left(x\right)=-x+\frac{2}{3}}[/dispmath]

smAshh je napisao:I ovaj ako nije problem...

Može...[dispmath]f\left(x\right)=\left[\log_\frac{1}{2}\frac{x^2+\left(m-3\right)x+1}{2x^2-5x+5}\right]^{-\frac{1}{2}}[/dispmath]Pre svega, treba postaviti uslov da je izraz u imeniocu za svako [inlmath]x[/inlmath] različit od nule, kao i da je argument logaritma (tj. ceo razlomak) za svako [inlmath]x[/inlmath] strogo veći od nule:
[inlmath]2x^2-5x+5\ne 0[/inlmath]
Pošto je diskriminanta [inlmath]D=5^2-4\cdot 2\cdot 5[/inlmath] manja od nule, a koeficijent uz kvadratni član pozitivan, zaključujemo da je izraz u imeniocu uvek strogo veći od nule.
[inlmath]\frac{x^2+\left(m-3\right)x+1}{2x^2-5x+5}>0[/inlmath]
Pošto smo već konstatovali da je imenilac strogo veći od nule, da bi ova nejednakost bila zadovoljena, potrebno je i da brojilac za svako [inlmath]x[/inlmath] bude strogo veći od nule:
[inlmath]x^2+\left(m-3\right)x+1>0[/inlmath]
Pošto je koeficijent uz kvadratni član pozitivan, taj izraz će biti uvek pozitivan onda kada je njegova diskriminanta manja od nule:
[inlmath]D=\left(m-3\right)^2-4<0[/inlmath]
[inlmath]m^2-6m+9-4<0[/inlmath]
[inlmath]m^2-6m+5<0[/inlmath]
[inlmath]m_{1,2}=\frac{6\pm\sqrt{36-20}}{2}[/inlmath]
[inlmath]m_{1,2}=3\pm 2[/inlmath]
[inlmath]m_1=1\quad m_2=5[/inlmath]
[inlmath]D<0\quad\Rightarrow\quad\underline{1<m<5}\quad\left(1\right)[/inlmath]

To su bili uslovi da je argument logaritma strogo pozitivan. Idemo dalje.

S obzirom na [inlmath]-\frac{1}{2}[/inlmath] u eksponentu, [inlmath]f\left(x\right)[/inlmath] se može napisati i kao[dispmath]f\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{\log_\frac{1}{2}\frac{x^2+\left(m-3\right)x+1}{2x^2-5x+5}}}[/dispmath]Sad moramo postaviti uslov da potkorena veličina ne sme biti manja od nule, a pošto se koren nalazi u imeniocu, to znači da taj koren ne sme biti jednak nuli, što znači da potkorena veličina, pored toga što ne sme biti manja od nule, takođe ne sme biti ni jednaka nuli. Prema tome, potkorena veličina mora biti strogo veća od nule:[dispmath]\log_\frac{1}{2}\frac{x^2+\left(m-3\right)x+1}{2x^2-5x+5}>0[/dispmath][dispmath]\log_\frac{1}{2}\frac{x^2+\left(m-3\right)x+1}{2x^2-5x+5}>\log_\frac{1}{2}1[/dispmath]Pošto je logaritam za osnovu koja je između [inlmath]0[/inlmath] i [inlmath]1[/inlmath] opadajuća funkcija, a za opadajuće funkcije važi[dispmath]f\left(x_1\right)>f\left(x_2\right)\quad\Leftrightarrow\quad x_1<x_2[/dispmath]tada, prilikom oslobađanja od logaritma u ovoj nejednačini, menja se znak nejednakosti:[dispmath]\frac{x^2+\left(m-3\right)x+1}{2x^2-5x+5}<1[/dispmath]Pošto smo ranije konstatovali da je imenilac [inlmath]2x^2-5x+5[/inlmath] uvek pozitivan, možemo ga prebaciti na desnu stranu, ne narušavajući nejednakost:[dispmath]x^2+\left(m-3\right)x+1<2x^2-5x+5[/dispmath][dispmath]-x^2+5x+\left(m-3\right)x-4<0[/dispmath][dispmath]-x^2+\left(m+2\right)x-4<0[/dispmath]Pošto je koeficijent uz kvadratni član negativan, ovaj izraz će za svako [inlmath]x[/inlmath] biti manji od nule onda kada je njegova diskriminanta manja od nule:
[inlmath]D=\left(m+2\right)^2-16<0[/inlmath]
[inlmath]m^2+4m+4-16<0[/inlmath]
[inlmath]m^2+4m-12<0[/inlmath]
[inlmath]m_{1,2}=\frac{-4\pm\sqrt{16+48}}{2}[/inlmath]
[inlmath]m_{1,2}=\frac{-4\pm 8}{2}[/inlmath]
[inlmath]m_{1,2}=-2\pm 4[/inlmath]
[inlmath]m_1=-6\quad m_2=2[/inlmath]
[inlmath]D<0\quad\Rightarrow\quad\underline{-6<m<2}\quad\left(2\right)[/inlmath]

Opseg vrednosti parametra [inlmath]m[/inlmath] za koje će funkcija [inlmath]f\left(x\right)[/inlmath] biti definisana za svako [inlmath]x[/inlmath] dobiće se u preseku uslova [inlmath]\left(1\right)[/inlmath] i [inlmath]\left(2\right)[/inlmath]:[dispmath]1<m<5\quad\land\quad -6<m<2\quad\Rightarrow\quad\underline{1<m<2}[/dispmath]

Hvala puno

Ako je [inlmath]f(x)=x^2+x+1[/inlmath] tada je [inlmath]f(x+2)-2f(x+1)+f(x)[/inlmath] za svako [inlmath]x[/inlmath] jednako:

Kako ovo? Je li treba da racunam inverznu f-ju ili ?

Ma jok.

Ako je [inlmath]f\left(x\right)=x^2+x+1[/inlmath], čemu je tada jednako [inlmath]f\left(x+2\right)[/inlmath]? Samo u izraz za funkciju [inlmath]f\left(x\right)=x^2+x+1[/inlmath] svuda gde vidiš [inlmath]x[/inlmath], stavljaš umesto njega [inlmath]x+2[/inlmath]. Znači, [inlmath]f\left(x+2\right)=\left(x+2\right)^2+\left(x+2\right)+1[/inlmath]. Sad to malo središ i na kraju dobiješ [inlmath]f\left(x+2\right)=x^2+5x+7[/inlmath].

Na potpuno isti način odrediš i [inlmath]f\left(x+1\right)[/inlmath].

I, kad si odredio [inlmath]f\left(x+2\right)[/inlmath] i [inlmath]f\left(x+1\right)[/inlmath], onda ti neće biti nikakav problem ni da odrediš [inlmath]f\left(x+2\right)-2f\left(x+1\right)+f\left(x\right)[/inlmath].