MATEMANIJA

Pozdrav,novi sam na forumu,i treba mi pomoć oko par zadataka za prijemni za fakultet koji je za tjedan dana
evo jel mi može netko riješit ovaj zadatak,vidim da ima riješenje,ali meni treba postupak,pa cu ja kasnije po tom postupku sam druge zadatke s drugim brojevima riješavat

Ako je [inlmath]f\left(x\right)=\frac{x^2+\frac{1}{x}}{x+\frac{1}{x}-1}[/inlmath], onda je [inlmath]\frac{f\left(-1\right)+f^{-1}\left(1\right)}{2}[/inlmath] jednako:
[inlmath]A.\;\frac{1}{2};\quad[/inlmath] [inlmath]B.\;1;\quad[/inlmath] [inlmath]C.\frac{0.5}{2};\quad[/inlmath] [inlmath]D.\;2;\quad[/inlmath] [inlmath]\enclose{circle}{E.\;0.}[/inlmath]

to je to

Hvala unaprijed

Pozdrav, dobro nam došao.

Pošto u izrazu koji tražimo, između ostalog, figuriše [inlmath]f\left(-1\right)[/inlmath], prvo treba njega da nađemo. To činimo tako što u izrazu za funkciju [inlmath]f\left(x\right)[/inlmath] svuda gde se pojavljuje promenljiva [inlmath]x[/inlmath] zamenimo je sa [inlmath]\left(-1\right)[/inlmath]:[dispmath]f\left(-1\right)=\frac{\left(-1\right)^2+\frac{1}{-1}}{-1+\frac{1}{-1}-1}[/dispmath][dispmath]f\left(-1\right)=\frac{1-1}{-1-1-1}[/dispmath][dispmath]f\left(-1\right)=\frac{0}{-3}[/dispmath][dispmath]f\left(-1\right)=0[/dispmath]Sledeće što se izrazu koji tražimo pojavljuje, to je [inlmath]f^{-1}\left(1\right)[/inlmath]. Da bismo to odredili, prvo moramo odrediti inverznu funkciju [inlmath]f^{-1}\left(x\right)[/inlmath]. To radimo tako što prvo [inlmath]f\left(x\right)[/inlmath] napišemo kao [inlmath]y[/inlmath]:[dispmath]y=\frac{x^2+\frac{1}{x}}{x+\frac{1}{x}-1}[/dispmath]a zatim, iz tog izraza, [inlmath]x[/inlmath] izrazimo u funkciji od [inlmath]y[/inlmath]:[dispmath]\left(x+\frac{1}{x}-1\right)y=x^2+\frac{1}{x}[/dispmath][dispmath]xy+\frac{y}{x}-y=x^2+\frac{1}{x}[/dispmath][dispmath]-x^2+xy+\frac{y}{x}-\frac{1}{x}-y=0\quad /\cdot x[/dispmath][dispmath]-x^3+yx^2-yx+y-1=0[/dispmath]Smena:
[inlmath]y-1=z[/inlmath]
[inlmath]y=z+1[/inlmath][dispmath]-x^3+\left(z+1\right)x^2-\left(z+1\right)x+z=0[/dispmath][dispmath]-x^3+zx^2+x^2-zx-x+z=0[/dispmath][dispmath]-x^2\left(x-z\right)+x\left(x-z\right)-\left(x-z\right)=0[/dispmath][dispmath]\left(x-z\right)\left(-x^2+x-1\right)=0[/dispmath]Pošto je diskriminanta kvadratne funkcije [inlmath]\left(-x^2+x-1\right)[/inlmath] manja od nule, zaključujemo da je jedino rešenje gornje jednačine [inlmath]\left(x-z\right)=0[/inlmath], tj. [inlmath]x=z[/inlmath].

Vraćamo smenu:[dispmath]x=y-1[/dispmath]Pošto smo sa [inlmath]y[/inlmath] označili [inlmath]f\left(x\right)[/inlmath], ovo znači da je[dispmath]x=f\left(x\right)-1[/dispmath]a inverzna funkcija je[dispmath]f^{-1}\left(x\right)=x-1[/dispmath]Sada lako možemo naći i [inlmath]f^{-1}\left(1\right)[/inlmath]:[dispmath]f^{-1}\left(1\right)=1-1[/dispmath][dispmath]f^{-1}\left(1\right)=0[/dispmath]pa je izraz koji tražimo jednak[dispmath]\frac{f\left(-1\right)+f^{-1}\left(1\right)}{2}=\frac{0+0}{2}=0[/dispmath]

e fala ti daniele...sad cu ja to prepisat,pa promjenit koji broj i rijesit jednu sam...evo jos cu jedan zadatak postavit,samo da sliku ubacim

Možeš pokušati, samo nemoj se mnogo razočarati ni ako ne uspeš da rešiš s drugim brojkama... Jer, ovde su brojke bile tako fino podešene da se kubna jednačina po [inlmath]x[/inlmath] dala relativno lako rešiti, odgovarajućim grupisanjem... S nekim drugim brojkama, to možda neće biti moguće.

palo mi je i to napamet,jer se sjećam profesora kad si iz glave zadatke davali da to nije išlo po njegovom planu...idući zadatak sam stavio u ostalo,i napravio novu temu nejednačine