MATEMANIJA

Pozdrav !
Trebam nac domenu ove funkcije:
[dispmath]F(x)=\log(\mathrm{tg}\:x)+\sqrt{\log(x+2)}[/dispmath]
Kako da nadem presjek tih dviju podfunkcija tj tigonometrijske i obicne??

Možda je dovoljno samo stavit znak [inlmath]\land[/inlmath] između

btw je li to ovako ispada
[dispmath]D_f=\left<2k\pi,\frac{2k-1}{2}\pi+k\pi,\;k\in\mathbb{Z}\right>\;\land\;x>-2[/dispmath]

blake je napisao:btw je li to ovako ispada
[dispmath]D_f=\left<2k\pi,\frac{2k-1}{2}\pi+k\pi,\;k\in\mathbb{Z}\right>\;\land\;x>-2[/dispmath]

Kad središ taj interval [inlmath]\left\langle 2k\pi,\frac{2k-1}{2}\pi+k\pi\right\rangle[/inlmath], dobićeš da je on, zapravo, [inlmath]\left\langle 2k\pi,-\frac{\pi}{2}+2k\pi\right\rangle[/inlmath], tj. da ti je desna granica manja od leve. Znači, sigurno je negde greška.
(BTW, ovo [inlmath]k\in\mathbb{Z}[/inlmath] nikad ne piši unutar intervala, već isključivo izvan njega.)

Znači, imamo funkciju:
[dispmath]F\left(x\right)=\log\left(\mathrm{tg}\:x\right)+\sqrt{\log\left(x+2\right)}[/dispmath]
Prvo postavljamo uslove za domen svake od pojedinačnih funkcija od kojih se sastoji ova data funkcija:
[dispmath]\begin{array}{ll}
\mathrm{tg}\:x\quad\Rightarrow\quad x\ne\frac{\pi}{2}+k\pi,\;k\in\mathbb{Z} & \left(1\right)\\
\log\left(\mathrm{tg}\:x\right)\quad\Rightarrow\quad \mathrm{tg}\:x>0\quad\Rightarrow\quad x\in\left(k\pi,\frac{\pi}{2}+k\pi\right),\;k\in\mathbb{Z} & \left(2\right)\\
\log\left(x+2\right)\quad\Rightarrow\quad x+2>0\quad\Rightarrow\quad x>-2 & \left(3\right)\\
\sqrt{\log\left(x+2\right)}\quad\Rightarrow\quad\log\left(x+2\right)\ge 0\quad\Rightarrow\quad x+2\ge 10^0\quad\Rightarrow\quad x+2\ge 1\quad\Rightarrow\quad x\ge -1 & \left(4\right)
\end{array}[/dispmath]
Sad treba naći preseke ovih uslova.

Presek uslova [inlmath]\left(1\right)[/inlmath] i [inlmath]\left(2\right)[/inlmath] je sâm uslov [inlmath]\left(2\right)[/inlmath], tj. [inlmath]x\in\left(k\pi,\frac{\pi}{2}+k\pi\right),\;k\in\mathbb{Z}[/inlmath].
Presek uslova [inlmath]\left(3\right)[/inlmath] i [inlmath]\left(4\right)[/inlmath] je sâm uslov [inlmath]\left(4\right)[/inlmath], tj. [inlmath]x\ge -1[/inlmath].

Sada treba naći presek uslova [inlmath]\left(2\right)[/inlmath] i [inlmath]\left(4\right)[/inlmath] i to će biti ono što tražimo, tj. domen date funkcije.
Za [inlmath]k=-1[/inlmath] interval [inlmath]\left(k\pi,\frac{\pi}{2}+k\pi\right)[/inlmath] iz uslova [inlmath]\left(3\right)[/inlmath] postaće [inlmath]\left(-\pi,\frac{\pi}{2}-\pi\right)[/inlmath], tj. [inlmath]\left(-\pi,-\frac{\pi}{2}\right)[/inlmath], ili, približno, [inlmath]\left(-3,14,-1,57\right)[/inlmath]. Ovaj interval očigledno nema zajedničke vrednosti s intervalom iz uslova [inlmath]\left(3\right)[/inlmath], tj. [inlmath]x\ge -1[/inlmath]. Samim tim, ni za manje vrednosti [inlmath]k[/inlmath] ovaj interval neće imati zajedničke vrednosti s intervalom iz uslova [inlmath]\left(3\right)[/inlmath].
Za [inlmath]k=0[/inlmath] interval [inlmath]\left(k\pi,\frac{\pi}{2}+k\pi\right)[/inlmath] iz uslova [inlmath]\left(3\right)[/inlmath] postaće [inlmath]\left(0,\frac{\pi}{2}\right)[/inlmath], ili, približno, [inlmath]\left(0,\:1,57\right)[/inlmath]. Sve vrednosti ovog intervala pripadaju i intervalu iz uslova [inlmath]\left(3\right)[/inlmath], tj. [inlmath]x\ge -1[/inlmath]. Isto važi i za veće vrednosti [inlmath]k[/inlmath].
Prema tome, presek uslova [inlmath]\left(2\right)[/inlmath] i [inlmath]\left(4\right)[/inlmath] će biti isti kao uslov [inlmath]\left(2\right)[/inlmath], tj. [inlmath]x\in\left(k\pi,\frac{\pi}{2}+k\pi\right)[/inlmath], samo što sada [inlmath]k[/inlmath] nije bilo koji ceo broj, već ceo broj koji je [inlmath]\ge 0[/inlmath]. Znači, domen ove funkcije je:
[dispmath]x\in\left(k\pi,\frac{\pi}{2}+k\pi\right),\;k\in\mathbb{N_0}[/dispmath]