Ako može neka početna ideja šta raditi kod ovakvih slučajeva:
[dispmath]\lim_{x\to8}\frac{\sqrt[3]{8x}-\sqrt{x+8}}{x-8}[/dispmath] Pokušao sam da racionališem
[dispmath]\lim_{x\to8}\frac{\sqrt[3]{8x}-\sqrt{x+8}}{x-8}\cdot\frac{\sqrt[3]{(8x)^2}+\sqrt[3]{8x}\cdot\sqrt{x+8}+x+8}{\sqrt[3]{(8x)^2}+\sqrt[3]{8x}\cdot\sqrt{x+8}+x+8}\\[1cm]
\lim_{x\to8}\frac{8x-(x+8)\sqrt{x+8}}{(x-8)\left(\sqrt[3]{(8x)^2}+\sqrt[3]{8x}\cdot\sqrt{x+8}+x+8\right)}[/dispmath] ali mislim da se na ovaj način samo zakomplikuje.
Rešenje je [inlmath]\frac{1}{24}[/inlmath]

Ovo je oblik limesa tj granične vrednosti "nula kroz nula". Ako ste radili Lopitalovo pravilo, primeni ga. Mislim da je tako najjednostavnije. Nađemo izvod samo brojioca i podelimo ga izvodom samo imenioca. Može se i nastaviti, po potrebi, ako opet dobijemo "nula kroz nula".
p.s. Lopitalovo pravilo može da se primeni i za oblike limesa tj graničnih vrednosti tipa "beskonačno kroz beskonačno".

No ako to niste radili, javi pa da radimo drugačije. Pozdrav!

Nismo radili izvod i lopitalova pravila jos, trebalo bi nekako da se sredi izraz pa da moze da mu se izracuna granicna vrednost. Ovaj zadatak je u grupi onih koji se resavaju lagano racionalisanjem, ali kod ovog i jos par sam bas zapeo, pa sam ovde postavio da vidim da li postoji neka fora ili neki drugi nacin.

Dobro si krenuo, samo da si uocio jedan mali detalj resio bi zadatak. U sustini tebi problem pravi ovaj izraz u imeniocu koji tezi nuli, ali zato treba nekako da nastelujes da ti se skrati tako sto napravis isti takav i u brojiocu. Zbog kraceg pisanja, trazeni limes oznacicu sa [inlmath]L[/inlmath]:
[dispmath]L=\frac{8x-(x+8)\sqrt{x+8}}{(x-8)(\sqrt[3]{(8x)^2}+\sqrt[3]{8x}\cdot\sqrt{x+8}+x+8)}[/dispmath] e a sada prosto umesto [inlmath]x[/inlmath] zamenis [inlmath]8[/inlmath] u izrazu [inlmath](x+8)\cdot\sqrt{x+8}[/inlmath] i dobijes
[dispmath]L=\frac{8x-64}{(x-8)\left(\sqrt[3]{(8x)^2}+\sqrt[3]{8x}\cdot\sqrt{x+8}+x+8\right)}[/dispmath] i sada primecujes da moze da se skrati i trebalo bi da se dobije dobro resenje osim ako nisi negde u racunu racionalizacije pogresio. Neki bi rekli da ovo ne sme da se radi, jer je to takozvani ,,parcijalni ulazak u limes,, medjutim, zamenom [inlmath]x-8=e[/inlmath] gde je [inlmath]e[/inlmath] epsilon okolina, dobio bi se isti rezultat.

Hvala, to je ta caka, pomogla je i kod ostalih zadataka

Ironija je sto se na ovaj nacin zamenom dobija da je trazeni limes jednak [inlmath]L=\frac{1}{6}[/inlmath] a lopitalovim pravilom se dobija [inlmath]\frac{1}{24}[/inlmath] ali to samo kada se zameni u izraz koji si ti dobio, pod uslovom da je on tacan, sto nisam proveravao.

Postupak rada je u osnovi dobar i da, potvrđujem tačnost rešenja [inlmath]\frac{1}{24}[/inlmath]
Mišljenja sam da je najbolje na početku uvesti smenu: [inlmath]x-8=t[/inlmath]
Jednostavniji izrazi se dobijaju, samim tim se smanjuje verovatnoća greške u računu.

Gekko je napisao:Ironija je sto se na ovaj nacin zamenom dobija da je trazeni limes jednak [inlmath]L=\frac{1}{6}[/inlmath] a lopitalovim pravilom se dobija [inlmath]\frac{1}{24}[/inlmath] ali to samo kada se zameni u izraz koji si ti dobio, pod uslovom da je on tacan, sto nisam proveravao.

Izraz koji je ffilipovicc98 dobio racionalizacijom jeste tačan, a pogrešno rešenje [inlmath]L=\frac{1}{6}[/inlmath] dobije se upravo zato što se ne sme tek tako uvrštavati [inlmath]x=8[/inlmath] dok još uvek u brojiocu i imeniocu imamo faktore koji teže nuli kada [inlmath]x\to8[/inlmath].
Pokušaću to da objasnim ovako: izraz u brojiocu, [inlmath]8x-(x+8)\sqrt{x+8}[/inlmath], teži nuli kada [inlmath]x\to8[/inlmath], a takođe i izraz [inlmath]8x-64[/inlmath] teži nuli kada [inlmath]x\to8[/inlmath], ali ta dva izraza ne teže nuli istom brzinom. Zbog toga se, za jednake vrednosti imenioca, dobiju različite vrednosti limesa celog razlomka kad se u brojilac umesto [inlmath]8x-(x+8)\sqrt{x+8}[/inlmath] stavi [inlmath]8x-64[/inlmath].

Ja ovde ne vidim drugog načina nego da se prvo primeni [inlmath]\displaystyle a-b=\frac{a^3-b^3}{a^2+ab+b^2}[/inlmath] radi oslobađanja kubnog korena u brojiocu (što si, @ffilipovicc98, već i učinio prikazanim racionalisanjem), a da se zatim primeni i [inlmath]\displaystyle a-b=\frac{a^2-b^2}{a+b}[/inlmath] radi oslobađanja kvadratnog korena u brojiocu.
Nebitan je redosled izvođenja ovih formula, isti će se rezultat dobiti.
U brojiocu će se dobiti [inlmath]-x^3+40x^2-192x-512[/inlmath]. Pošto znamo da je za [inlmath]x=8[/inlmath] brojilac jednak nuli, to odmah znamo da je [inlmath](x-8)[/inlmath] jedan od faktora polinoma u brojicu, tj. da deljenjem polinoma u brojiocu sa [inlmath](x-8)[/inlmath] dobijamo količnik bez ostatka. Izvršimo to deljenje čime iz brojioca izdvajamo faktor [inlmath](x-8)[/inlmath] koji se zatim skrati sa [inlmath](x-8)[/inlmath] u imeniocu, nakon čega nije problem izračunati vrednost limesa jednostavnim uvrštavanjem [inlmath]x=8[/inlmath].

desideri je napisao:Mišljenja sam da je najbolje na početku uvesti smenu: [inlmath]x-8=t[/inlmath]
Jednostavniji izrazi se dobijaju, samim tim se smanjuje verovatnoća greške u računu.

Dobije se [inlmath]\displaystyle\lim_{t\to0}\frac{\sqrt[3]{8(t+8)}-\sqrt{t+16}}{t}[/inlmath], što baš i ne vidim da je nešto jednostavniji izraz.

Ja bih iskoristio prvo rastavljanje
[dispmath]\frac{\sqrt[3]{8x}-\sqrt{x+8}}{x-8}=\frac{\sqrt[3]{8x}-4}{x-8}-\frac{\sqrt{x+8}-4}{x-8},[/dispmath] i onda za prvi izraz uradimo racionalisanje do razlike kubova, a za drugi racionalisanje do razlike kvadrata.

Da, slazem se, mozda je potrebno malo iskustva kako bi znali sta da se oduzme, tj. doda, na samom pocetku (a stvar je u tome da se ide na to da se pojavi [inlmath]x-8[/inlmath] u brojiocu).

@Daniel je razjasnio zasto ovo ipak ne radi u svakom slucaju, to sam skapirao i uspeo sam nakon dve racionalizacije da resim zadatak.
@Onomatopeja dobro je imati oko za ovakve stvari, ustedi se dosta vremena!
U svakom slucaju nastala je zbrka oko toga sto jos ne znam laksi nacin kako se ovo resava, jer nisam ucio izvod, tako da za par meseci nece biti vise ovakvih problema, hvala svima!