MATEMANIJA

Da ne otvaram novu, reko' da nastavim ovde.

Treba ispitati neprekidnost funkcije u [inlmath](0,0)[/inlmath]:
[dispmath]f(x,y)=\frac{2x^2y+y^3}{x^2+y^2}[/dispmath]

Ipak ćemo u novu temu, pošto je ovde u pitanju funkcija dve promenljive.

Za početak, da l' bi ti, možda, pomogao ovaj zadatak?

Trebalo bi. Sad ću proveriti.

Ako sam razumeo onaj primer, umesto [inlmath]x[/inlmath] ubacujem [inlmath]ky+0[/inlmath], tj. [inlmath]ky[/inlmath] i posle sredjivanja dobijem
[dispmath]\frac{2k^2+1}{k^2+1}\cdot\lim\limits_{y\to 0}\:y[/dispmath] gde je [inlmath]\frac{2k^2+1}{k^2+1}[/inlmath] konacna vrednost veca od [inlmath]1[/inlmath], a [inlmath]\lim\limits_{y\to 0}\:y=0[/inlmath] i odatle je ceo izraz jednak [inlmath]0[/inlmath], a funkcija samim tim neprekidna?

Odlično. Uz napomenu da, pošto si ovde uzeo [inlmath]x=ky[/inlmath], bilo bi potrebno još posebno ispitati i za slučaj [inlmath]y=0[/inlmath], koji ovime nije bio obuhvaćen. I za taj slučaj se dobije da je limes jednak nuli, štaviše, ne samo limes, nego je i vrednost funkcije nula bez obzira na vrednost [inlmath]x[/inlmath], jer je [inlmath]f(x,0)=\frac{2x^2\cdot 0+0^3}{x^2+0^2}=0[/inlmath], tako da je funkcija definitivno neprekidna u [inlmath]\left(0,0\right)[/inlmath].

U zadatku na koji sam ti linkovao bilo je zgodnije [inlmath]x[/inlmath] izraziti preko [inlmath]y[/inlmath], ali u ovom zadatku je svejedno, tako da si mogao i [inlmath]y[/inlmath] da izraziš preko [inlmath]x[/inlmath]. Naravno, tada bi, kao poseban slučaj, razmatrao slučaj [inlmath]x=0[/inlmath].

Hvala lepo!

A... Sta bi bilo kada u delu kod [inlmath]y=0[/inlmath] ne bismo dobili da limes tezi nuli? Onda znaci da funkcija nije neprekidna?

Da. Ako bismo, idući po makar jednom pravcu, dobili limes u toj tački koji se razlikuje od limesa u toj tački po ostalim pravcima, tada funkcija u toj tački ne bi bila neprekidna.

Jos jednom hvala!

DOPUNA (videti ovaj link): Neprekidnost funkcije po bilo kojoj pravoj kroz neku tačku jeste potreban, ali ne i dovoljan uslov da bi funkcija bila neprekidna u toj tački. Potreban i dovoljan uslov je da funkcija bude neprekidna po bilo kojoj krivoj.

Znači, i dalje stoji ovo što sam rekao,

Daniel je napisao:Ako bismo, idući po makar jednom pravcu, dobili limes u toj tački koji se razlikuje od limesa u toj tački po ostalim pravcima, tada funkcija u toj tački ne bi bila neprekidna.

ali to što smo dobili da je funkcija neprekidna po bilo kojoj pravoj liniji koja prolazi kroz posmatranu tačku, i dalje ne znači da je neprekidna, već je to potrebno dodatno ispitati.

Možemo se poslužiti teoremom o dva policajca:
[dispmath]0\le\left|f(x,y)\right|=\left|\frac{2x^2y+y^3}{x^2+y^2}\right|=\left|\frac{y\left(2x^2+y^2\right)}{x^2+y^2}\right|\le\left|\frac{y\left(2x^2+2y^2\right)}{x^2+y^2}\right|=2\left|\frac{y\cancel{\left(x^2+y^2\right)}}{\cancel{x^2+y^2}}\right|=2\left|y\right|[/dispmath]
a pošto [inlmath]2\left|y\right|\to0[/inlmath] kada [inlmath]\left(x,y\right)\to\left(0,0\right)[/inlmath], znači da i apsolutna vrednost funkcije tada teži nuli. A iz toga sledi da i sama vrednost funkcije teži nuli približavajući se toj tački.

Naravno, sve je ovo rađeno pod pretpostavkom da je po uslovu zadatka funkcija dodefinisana u tački [inlmath]\left(0,0\right)[/inlmath], tako da važi [inlmath]f\left(0,0\right)=0[/inlmath]. Verujem da je to slučajno izostavljeno u tekstu zadatka.

Daniel je napisao:Naravno, sve je ovo rađeno pod pretpostavkom da je po uslovu zadatka funkcija dodefinisana u tački [inlmath](0,0)[/inlmath], tako da važi[inlmath]f(0,0)=0[/inlmath]. Verujem da je to slučajno izostavljeno u tekstu zadatka.

Mora biti dodefinisana, apsolutno se slažem.

p.s. Moj poseban pozdrav našem zaslužnom forumašu:
PocetnikSRB