MATEMANIJA

Da ne otvaram novu, reko' da nastavim ovde.

Treba ispitati neprekidnost funkcije u [inlmath](0,0)[/inlmath]:
[dispmath]f(x,y)=\frac{2x^2y+y^3}{x^2+y^2}[/dispmath]

Ipak ćemo u novu temu, pošto je ovde u pitanju funkcija dve promenljive.

Za početak, da l' bi ti, možda, pomogao ovaj zadatak?

Trebalo bi. Sad ću proveriti.

Ako sam razumeo onaj primer, umesto [inlmath]x[/inlmath] ubacujem [inlmath]ky+0[/inlmath], tj. [inlmath]ky[/inlmath] i posle sredjivanja dobijem
[dispmath]\frac{2k^2+1}{k^2+1}\cdot\lim\limits_{y\to 0}\:y[/dispmath] gde je [inlmath]\frac{2k^2+1}{k^2+1}[/inlmath] konacna vrednost veca od [inlmath]1[/inlmath], a [inlmath]\lim\limits_{y\to 0}\:y=0[/inlmath] i odatle je ceo izraz jednak [inlmath]0[/inlmath], a funkcija samim tim neprekidna?

Odlično. Uz napomenu da, pošto si ovde uzeo [inlmath]x=ky[/inlmath], bilo bi potrebno još posebno ispitati i za slučaj [inlmath]y=0[/inlmath], koji ovime nije bio obuhvaćen. I za taj slučaj se dobije da je limes jednak nuli, štaviše, ne samo limes, nego je i vrednost funkcije nula bez obzira na vrednost [inlmath]x[/inlmath], jer je [inlmath]f(x,0)=\frac{2x^2\cdot 0+0^3}{x^2+0^2}=0[/inlmath], tako da je funkcija definitivno neprekidna u [inlmath]\left(0,0\right)[/inlmath].

U zadatku na koji sam ti linkovao bilo je zgodnije [inlmath]x[/inlmath] izraziti preko [inlmath]y[/inlmath], ali u ovom zadatku je svejedno, tako da si mogao i [inlmath]y[/inlmath] da izraziš preko [inlmath]x[/inlmath]. Naravno, tada bi, kao poseban slučaj, razmatrao slučaj [inlmath]x=0[/inlmath].

Hvala lepo!

A... Sta bi bilo kada u delu kod [inlmath]y=0[/inlmath] ne bismo dobili da limes tezi nuli? Onda znaci da funkcija nije neprekidna?

Da. Ako bismo, idući po makar jednom pravcu, dobili limes u toj tački koji se razlikuje od limesa u toj tački po ostalim pravcima, tada funkcija u toj tački ne bi bila neprekidna.

Jos jednom hvala!

DOPUNA (videti ovaj link): Neprekidnost funkcije po bilo kojoj pravoj kroz neku tačku jeste potreban, ali ne i dovoljan uslov da bi funkcija bila neprekidna u toj tački. Potreban i dovoljan uslov je da funkcija bude neprekidna po bilo kojoj krivoj.

Znači, i dalje stoji ovo što sam rekao,

Daniel je napisao:Ako bismo, idući po makar jednom pravcu, dobili limes u toj tački koji se razlikuje od limesa u toj tački po ostalim pravcima, tada funkcija u toj tački ne bi bila neprekidna.

ali to što smo dobili da je funkcija neprekidna po bilo kojoj pravoj liniji koja prolazi kroz posmatranu tačku, i dalje ne znači da je neprekidna, već je to potrebno dodatno ispitati.

Možemo se poslužiti teoremom o dva policajca:
[dispmath]0\le\left|f(x,y)\right|=\left|\frac{2x^2y+y^3}{x^2+y^2}\right|=\left|\frac{y\left(2x^2+y^2\right)}{x^2+y^2}\right|\le\left|\frac{y\left(2x^2+2y^2\right)}{x^2+y^2}\right|=2\left|\frac{y\cancel{\left(x^2+y^2\right)}}{\cancel{x^2+y^2}}\right|=2\left|y\right|[/dispmath]
a pošto [inlmath]2\left|y\right|\to0[/inlmath] kada [inlmath]\left(x,y\right)\to\left(0,0\right)[/inlmath], znači da i apsolutna vrednost funkcije tada teži nuli. A iz toga sledi da i sama vrednost funkcije teži nuli približavajući se toj tački.

Naravno, sve je ovo rađeno pod pretpostavkom da je po uslovu zadatka funkcija dodefinisana u tački [inlmath]\left(0,0\right)[/inlmath], tako da važi [inlmath]f\left(0,0\right)=0[/inlmath]. Verujem da je to slučajno izostavljeno u tekstu zadatka.

Daniel je napisao:Naravno, sve je ovo rađeno pod pretpostavkom da je po uslovu zadatka funkcija dodefinisana u tački [inlmath](0,0)[/inlmath], tako da važi[inlmath]f(0,0)=0[/inlmath]. Verujem da je to slučajno izostavljeno u tekstu zadatka.

Mora biti dodefinisana, apsolutno se slažem.

p.s. Moj poseban pozdrav našem zaslužnom forumašu:
PocetnikSRB

A da je funkcija ovog oblika (prikačio sam fajl) za [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] različito od nule, a jednaka nuli za [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] jednako nuli , da li izbor smene sme da utiče na limes? Pošto kada stavim [inlmath]y=kx^2[/inlmath] u smenu, dobije se izraz sa [inlmath]k[/inlmath] (što znači da nije neprekidna), a ako stavim [inlmath]y=kx^3[/inlmath], dobije se da je limes zaista nula. Gde grešim?
[dispmath]\frac{2x^2y}{3x^4+y^2}[/dispmath]

Uz dobrodošlicu na forum, molim te, pre svega, da matematičke izraze ne kačiš kao crteže. Čak i ako nisi pročitao Pravilnik (što bi svakako trebalo da učiniš), mogao si primetiti u ostalim postovima da se na ovom forumu za pisanje matematičkih izraza koristi Latex.
Korigovao sam ti post.

Što se tiče pitanja, ne grešiš nigde. Kao što sam i napisao u prethodnom postu, potreban (i dovoljan) uslov za neprekidnost funkcije jeste da funkcija bude neprekidna po bilo kojoj krivoj liniji. To znači, da bude neprekidna za bilo koju smenu koju izabereš za [inlmath]y[/inlmath]. Samim tim što si za makar jednu smenu dobio da limes nije nula već je neka vrednost zavisna od [inlmath]k[/inlmath], tj. da funkcija po toj krivoj nije neprekidna, dokazao si (kontraprimerom) i da funkcija nije neprekidna u toj tački.

grafik ove funkcije je kao reljef, i samim tim ta funkcija moze biti neprekidna po pravoj, krivoj itd... u zavisnosti od zadatka mi ispitujemo da li je ta funkcija neprekidna u nekoj tacki(gledamo da li su 2 uzastopna limesa jednaka, koristimo teorema dva zandara ili uvodimo polarni sistem) i nekada ako je to potrebno ispitujemo da li je neprekidna u nekoj tacki po svakoj pravoj(nekoj krivoj) koja prolazi kroz tu tacku...

Hvala na odgovoru, Daniele i Siniša. Ubuduće ću koristiti Latex, pročitao sam uputstvo za korišćenje ali sam bio u žurbi, pa sam strahovao da ću pogrešiti ako krenem sa Latex-om, i onda mi bilo lakše da zakačim fajl Ovakvi tipovi zadataka se rade naslućivanjem? Jer sam danas dobio ovakav zadatak na kolokvijumu, i trebalo je odmah da naslutim da ako je smena [inlmath]y=kx^2[/inlmath], da ću dobiti da funkcija nije neprekidna. To mi se nekako ne sviđa

nisam siguran ali mislim da ako ovu funkciju prevedes u polarni koordinatni sistem i da ako dokazes da limes ove funkcije zavisi od ugla "fi", samim tim ti ces dokazati da ona nije neprekidna... ako stavimo da je [inlmath]x=r\cos\varphi[/inlmath] i [inlmath]y=r\sin\varphi[/inlmath] samim tim dobijemo da je [inlmath]y=x\,\text{tg }\varphi[/inlmath] a znamo da je tangens neogranicen pa samim tim znamo da postoji u zavisnosti od situacije dovoljno veliko ili dovoljno malo "fi" da taj limes ne bude nula, samim tim kada bismo funkciju: [inlmath]y=x\,\text{tg }\varphi[/inlmath] (sa tim "fi" koje je dovoljno da limes ne bude u ovom slucaju [inlmath]0[/inlmath]) preveli iz polarnog u dekartov dobili bismo neku krivu po kojoj ova funkcija nije neprekidna... ne znam da li je to prevodjenje uopste moguce izvesti ali sto se nas tice dovoljno je da dokazemo postojanje te neke krive po kojoj ova funkcija nije neprekidna

ovo je neko moje shvatanje dokazivanja neprekidnosti pomocu polarnog sistema

Da, upravo sam to uradio, i dobio da je limes jednak nuli. Tretirao sam kosinuse i sinuse kao nešto što je konstantno, je l sam tu pogrešio?

ovo su 2 funkcije, imenioca i brojioca, lako se moze zakljuciti da za neke vrijednosti ugla ovaj limes ce biti jednak nuli a za neke jednak beskonacnosti... ovo bi trebao biti dovoljan dokaz, sumnjam da su od vas ocekivali da nagadjate po kojoj bi krivoj funkcija imala prekid

ova druga funkcija ne izgleda bas ovako jer [inlmath]x[/inlmath] samo tezi nuli pa je jednaka nuli samo za odredjene uglove...

volio bih kada bi mi neko od iskusnijih rekao da li je ovaj moj nacin razmisljanja ispravan

svasta nesta sam napisao sem rjesenja, ali evo i njega ovo su upute za rjesavanje pomocu metode dva zandara
[dispmath]\left(x^2-y\right)^2>0\\
\left|x^4+y^2\right|>\left|2x^2y\right|[/dispmath]

Zoah je napisao:Ovakvi tipovi zadataka se rade naslućivanjem? Jer sam danas dobio ovakav zadatak na kolokvijumu, i trebalo je odmah da naslutim da ako je smena [inlmath]y=kx^2[/inlmath], da ću dobiti da funkcija nije neprekidna. To mi se nekako ne sviđa

Evo moje ideje kako možemo do kontraprimera doći bez napipavanja, analitičkim putem.

Pošto treba da proverimo postoji li takva funkcija [inlmath]y=f\left(x\right)[/inlmath] za koju će važiti [inlmath]f\left(0\right)=0[/inlmath] i [inlmath]\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{2x^2y}{3x^4+y^2}\ne0[/inlmath] (tj. takva kriva koja prolazi kroz [inlmath]\left(0,0\right)[/inlmath] po kojoj zadata funkcija neće biti neprekidna u [inlmath]\left(0,0\right)[/inlmath]), podelimo i brojilac i imenilac najvećim stepenom promenljive [inlmath]x[/inlmath] koji ovde figuriše, a to je [inlmath]x^4[/inlmath]:
[dispmath]\lim_{x\to0}\frac{2x^2y}{3x^4+y^2}=\lim_{x\to0}\frac{\frac{2x^2y}{x^4}}{\frac{3x^4+y^2}{x^4}}=\lim_{x\to0}\frac{2\frac{y}{x^2}}{3+\frac{y^2}{x^4}}=\lim_{x\to0}\frac{2\frac{y}{x^2}}{3+\left(\frac{y}{x^2}\right)^2}\ne0[/dispmath]
Odatle vidimo da će primer funkcije [inlmath]y[/inlmath] kada je ovaj limes različit od nule biti takva funkcija za koju važi [inlmath]\frac{y}{x^2}=k=\text{const}\;\left(k\ne0\right)[/inlmath], odakle sledi [inlmath]y=kx^2\;\left(k\ne0\right)[/inlmath]. Na taj način se analitički, bez nagađanja, došlo do kontraprimera.