MATEMANIJA

Imam dva limesa sa kojim se nisam susretao ranije malo me buni ovo [inlmath]\alpha,\beta[/inlmath] bas nemam ideju kako bih resio. Hvala najlepse. Evo i limesa:
[dispmath]\lim_{n\to\infty}{(\ln n)^\alpha}\cdot{\mathrm{arctg}^\beta}[/dispmath][dispmath]\lim_{n\to\infty}\left(\sqrt{n!+\alpha^n+3}-\sqrt{n!+\beta^n+3}\right)\sqrt{n!}[/dispmath]

Rekao bih da prvi nisi zapisao kako treba s obzirom na to da arkustangensu nisi naveo argument.

Što se drugog tiče, pomnoži sve sa [inlmath]\frac{\sqrt{n!+\alpha^n+3}+\sqrt{n!+\beta^n+3}}{\sqrt{n!+\alpha^n+3}+\sqrt{n!+\beta^n+3}}[/inlmath], i onda razlomku koji dobiješ podeli i imenilac i brojilac sa [inlmath]\sqrt{n!}[/inlmath]. Iskoristi zatim i to da je [inlmath]\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a^n}{n!}=0[/inlmath]

Pokusao sam ali nisam uspeo. Brojilac mi se lepo namesti ali imenilac nikako - negde gresim. Ovako mi ostane
[dispmath]\frac{\alpha^n-\beta^n}{\frac{\sqrt{n!+\alpha^n+3}\;+\sqrt{n!+\beta^n+3}}{\sqrt{n!}}}[/dispmath]
ne bih znao kako dalje, i da li je uopste tacno. Hvala jos jednom
A u prvom sam izostavio [inlmath]n[/inlmath] tj.
[dispmath]\mathrm{arctg}\:n^\beta[/dispmath]

To što si dobio je, zapravo, isto što i [inlmath]\left(\alpha^n-\beta^n\right)\frac{\sqrt{n!}}{\sqrt{n!+\alpha^n+3}+\sqrt{n!+\beta^n+3}}[/inlmath]. Sada, kao što ti je Milovan i rekao, podeli i brojilac i imenilac sa [inlmath]\sqrt{n!}[/inlmath], pa će ti u brojiocu ostati [inlmath]1[/inlmath], a u imeniocu neki izraz čiji će limes biti vrlo očigledan...

Oba zadatka se svode na to da treba da diskutuješ za različite opsege vrednosti parametara [inlmath]\alpha[/inlmath] i [inlmath]\beta[/inlmath]. Potrebno je da uočiš koji su to opsezi. Evo, ja ću ti malo pomoći – za [inlmath]\alpha>0,\;\beta>0[/inlmath] limes [inlmath]\lim\limits_{n\to\infty}\left(\ln n\right)^\alpha\cdot\mathrm{arctg}\:n^\beta[/inlmath] će biti [inlmath]\infty[/inlmath], jer tada [inlmath]\left(\ln n\right)^\alpha\to\infty[/inlmath] i [inlmath]\mathrm{arctg}\:n^\beta\to\frac{\pi}{2}[/inlmath]...

Zaista nemam predstavu o cemu se ovde radi - ok treba da diskutujem za razlicite opsege, ali da li uvek uzimam vece od nule ili zavisi? Ili mogu da uzmem i manje od nule? Bas nemam predstavu, a nismo ovako nesto ni radili. Jel bi mogao da mi napises pa cu pogedati - verujem da ce mi tada biti jasnije. Sto se tice ovog zadatka (sto sve treba da delim sa [inlmath]\sqrt{n!}[/inlmath]) jel se tu dobije kao rezultat:
[dispmath]\left(\alpha^n-\beta^n\right)\cdot\frac{1}{\infty}[/dispmath]
Hvala ti puno zaista

Dobio si limes
[dispmath]\lim_{n\to\infty}\left(\alpha^n-\beta^n\right)\frac{\sqrt{n!}}{\sqrt{n!+\alpha^n+3}+\sqrt{n!+\beta^n+3}}[/dispmath]
Kada podeliš imenilac i brojilac sa [inlmath]\sqrt{n!}[/inlmath] dobijaš:
[dispmath]\lim_{n\to\infty}\left(\alpha^n-\beta^n\right)\frac{1}{\sqrt{1+\frac{\alpha^n}{n!}+\frac{3}{n!}}+\sqrt{1+\frac{\beta^n}{n!}+\frac{3}{n!}}}=\frac12\left(\alpha^n-\beta^n\right)[/dispmath]
E sad treba da proceniš šta se dešava za različite vrednosti ovih parametara. Recimo, ako je [inlmath]\alpha>\beta>1[/inlmath], onda će i [inlmath]\alpha^n[/inlmath] i [inlmath]\beta^n[/inlmath] težiti beskonačnosti za [inlmath]n\to\infty[/inlmath], pri čemu će [inlmath]\alpha^n[/inlmath] brže rasti, pa je onda ceo limes jednak [inlmath]+\infty[/inlmath].
Kada je [inlmath]\beta>\alpha>1[/inlmath], onda je ceo limes jednak [inlmath]-\infty[/inlmath].
Ako je [inlmath]\alpha=\beta[/inlmath], onda je ceo limes nula.
Imaš još slučajeva... Recimo, [inlmath]\alpha<\beta<1[/inlmath]. Prepuštam tebi da ih ispitaš.

Ok, hvala na odogovoru. Sad je jasnije, samo da pitam zasto je bas granica [inlmath]1[/inlmath] (da tako kazem)? Pretpostavljam da moze da se uzme bilo koji broj npr. nula pa da ispitujemo sve slucajeve?

Zato što je
[dispmath]\lim_{n\to\infty}\alpha^n=\begin{cases}
+\infty, & \alpha>1\\
1, & \alpha=1\\
0, & 0\le\alpha<1
\end{cases}[/dispmath]