MATEMANIJA

Vec sam gledao temu [inlmath]\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1[/inlmath],ima tamo dokaz sve fino objasnjeno nema sta. Evo poceo sam raditi limese i zapeo sam ovde to sam trazio i na forumu i na gogleu ali na zalost nisam nasao nista korisno.
[dispmath]\lim\limits_{x \rightarrow \infty}{\bigg(1+\frac{1}{x}\bigg)^x}=e[/dispmath]
Vec sam poceo raditi zadatke sa ovakvim tipom pa ne bi bilo lose da se ovo razjasni. Tek sam se poceo susretati sa konstantom [inlmath]e=2.71[/inlmath]. Sada ako neko moze da malo pojasni zapravo sta je [inlmath]e[/inlmath] konstanta sta predstavlja? Mislim malo svojim rijecima. Npr kao [inlmath]\pi=3.141592[/inlmath] to predstavlja koliko ima precnika u kruznici.Trazio sam ja po netu to neko objasnjenje i nasao sam da je povezana sa ovim gore limesom. Ali sva su objasnjenja preko derivacija i integrala a ja to nisam jos ucio Znaci potreban je dokaz i za limes ako je moguc a da nije komplikovan.

Evo vidim niko ne odgovara na temu.Možda sam čak malo i glupo pitanje postavio.Izgleda uopše ovo toliko nije ni komplikovano koliko se meni učinilo.Prije kada vidim [inlmath]e[/inlmath] u zadatku odmah mi je mrak padao na oči.Evo ja ću napisati nešto što sam shvatio.

[inlmath]e[/inlmath] poznat kao Eulerov broj i to je iracionalan broj.To je baza od logartima [inlmath]\ln[/inlmath] (The Natural Logarithm),ovo sam znao i ranije. I izgleda da je sve krenulo od funkcije [inlmath]f(x)=\left(1+\frac{1}{x}\right)^x[/inlmath] kada se to nacrta malo bolje se shvati. Znači to je broj za koji funkcija teži u beskonačnost(odnosi se i na [inlmath]+\infty[/inlmath] i na [inlmath]-\infty[/inlmath]) mislim limes te fukncije.Ja kada sam dole napisao ovaj limes mislio sam da se to treba nešto posebno izvoditi.Sve sam nešto iskompikovao bezveze...

Nisi postavio glupo pitanje, nego zbog svojih privatnih obaveza ne stižemo baš uvek na sve da odgovorimo odmah.
Granična vrednost niza [inlmath]a_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n[/inlmath] može se izračunati s nekom zadatom tačnošću (naravno, ne može s apsolutnom tačnošću, jer je [inlmath]e[/inlmath], koje predstavlja tu graničnu vrednost, kako si i sâm rekao – iracionalan broj, tj. broj s beskonačno mnogo decimala, isto kao i [inlmath]\pi[/inlmath]).

Ono što je moguće dokazati izvođenjem, to je da je taj niz monotono rastući i ograničen odozgo (što je dovoljan uslov za konvergenciju), a tom prilikom se dokazuje i to, da je vrednost svakog člana tog niza strogo manja od [inlmath]3[/inlmath]. Osim toga, pošto je prvi član niza [inlmath]a_1=\left(1+\frac{1}{1}\right)^1=2[/inlmath], a niz je monotono rastući, znači da za sve članove niza važi da su [inlmath]\ge 2[/inlmath] (pri čemu jednakost važi samo za [inlmath]a_1[/inlmath]), što znači da se vrednosti članova tog niza nalaze u intervalu [inlmath]\left[2,3\right)[/inlmath]. A to i jeste interval u kojem se nalazi broj [inlmath]e[/inlmath].
U dokazu za ograničenost odozgo koristi se suma [inlmath]1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots +\frac{1}{n!}[/inlmath] (čija je granična vrednost takođe [inlmath]e[/inlmath]).
Za dokaz se ne bi baš moglo reći da je vrlo jednostavan. Ako te, ipak, zanima (ili tebe, ili bilo koga drugog), mogu ga napisati (ovih dana).

I ne moraš pisati čitav dokaz.Najbolje bi bilo ako imaš da nađeš neki link pa samo postavi.Ili kao neki attachment ako ima dosta toga,da se ne pretrpavaš bezveze.

Nisam uspeo da nađem nikakav link. A i inače je uvek bolje sve postupke objavljivati ovde na samom forumu umesto kačiti linkove, jer neki linkovi togom vremena mogu i da se „ugase“.

---

Dokaz da je niz monotono rastući:
[dispmath]\frac{a_{n}}{a_{n-1}}=\frac{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}{\left(1+\frac{1}{n-1}\right)^{n-1}}=\left(1+\frac{1}{n-1}\right)\left(\frac{1+\frac{1}{n}}{1+\frac{1}{n-1}}\right)^n=\frac{n-\cancel 1+\cancel 1}{n-1}\left(\frac{\frac{n+1}{n}}{\frac{n-\cancel 1+\cancel 1}{n-1}}\right)^n=[/dispmath][dispmath]=\frac{n}{n-1}\left[\frac{\left(n+1\right)\left(n-1\right)}{n^2}\right]^n=\frac{n}{n-1}\left(\frac{n^2-1}{n^2}\right)^n=\frac{n}{n-1}\left(1-\frac{1}{n^2}\right)^n[/dispmath]
Faktor [inlmath]\left(1-\frac{1}{n^2}\right)^n[/inlmath] se može razviti korišćenjem binomne formule:
[dispmath]\left(1-\frac{1}{n^2}\right)^n=1-{n\choose 1}\frac{1}{n^2}+{n\choose 2}\left(\frac{1}{n^2}\right)^2-{n\choose 3}\left(\frac{1}{n^2}\right)^3+{n\choose 4}\left(\frac{1}{n^2}\right)^4-{n\choose 5}\left(\frac{1}{n^2}\right)^5+\cdots =[/dispmath][dispmath]=1-\cancel n\cdot\frac{1}{n^{\cancel 2}}+\frac{\cancel n\left(n-1\right)}{2n^{\cancel 43}}-\frac{\cancel n\left(n-1\right)\left(n-2\right)}{3\cdot 2n^{\cancel 65}}+\frac{\cancel n\left(n-1\right)\left(n-2\right)\left(n-3\right)}{4\cdot 3\cdot 2n^{\cancel 87}}-\frac{\cancel n\left(n-1\right)\left(n-2\right)\left(n-3\right)\left(n-4\right)}{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2n^{\cancel{10}9}}+\cdots =[/dispmath][dispmath]=1-\frac{1}{n}+\underbrace{\frac{n-1}{3\cdot 2n^5}\left[3n^2-\left(n-2\right)\right]}_{>0}+\underbrace{\frac{\left(n-1\right)\left(n-2\right)\left(n-3\right)}{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2n^9}\left[5n^2-\left(n-4\right)\right]}_{>0}+\cdots >1-\frac{1}{n}[/dispmath]
Pošto smo pokazali da je [inlmath]\left(1-\frac{1}{n^2}\right)^n>1-\frac{1}{n}[/inlmath], sada to vraćamo u izraz za [inlmath]\frac{a_{n}}{a_{n-1}}[/inlmath]:
[dispmath]\frac{a_{n}}{a_{n-1}}=\frac{n}{n-1}\left(1-\frac{1}{n^2}\right)^n>\frac{n}{n-1}\left(1-\frac{1}{n}\right)=\frac{\cancel n}{\cancel{n-1}}\cdot\frac{\cancel{n-1}}{\cancel n}=1[/dispmath][dispmath]\Rightarrow\quad\frac{a_{n}}{a_{n-1}}>1[/dispmath]
čime je dokazano da je [inlmath]a_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n[/inlmath] rastući niz.

---

Dakle, kao što napisah u prethodnom postu, sada se može dokazati i da je niz ograničen odozdo. Pošto je
[dispmath]a_1=\left(1+\frac{1}{1}\right)^1=2[/dispmath]
a pošto je svaki naredni član veći od prethodnog budući da je niz rastući, sledi da za svaki član niza važi [inlmath]a_n\ge 2[/inlmath], pri čemu jednakost važi za [inlmath]a_1[/inlmath].

---

Treba još dokazati da je ograničen odozgo. To ostavljam za sledeći put.

Dokaz da je niz ograničen odozgo:

[inlmath]\left(1+\frac{1}{n}\right)^n[/inlmath] razvijemo korišćenjem binomne formule:
[dispmath]\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=1+{n\choose 1}\frac{1}{n}+{n\choose 2}\frac{1}{n^2}+{n\choose 3}\frac{1}{n^3}+\cdots +{n\choose n}\frac{1}{n^n}=[/dispmath]
[dispmath]=1+\cancel n\cdot\frac{1}{\cancel n}+\frac{\cancel n\left(n-1\right)}{2!}\cdot\frac{1}{n^{\cancel 2}}+\frac{\cancel n\left(n-1\right)\left(n-2\right)}{3!}\cdot\frac{1}{n^{\cancel 32}}+\cdots +\\
+\frac{\cancel n\left(n-1\right)\left(n-2\right)\cdots\left[n-\left(n-2\right)\right]\left[n-\left(n-1\right)\right]}{n!}\cdot\frac{1}{n^{\cancel nn-1}}=[/dispmath]
[dispmath]=1+1+\frac{1}{2!}\left(1-\frac{1}{n}\right)+\frac{1}{3!}\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right)+\cdots +\\
+\frac{1}{n!}\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right)\cdots\left(1-\frac{n-2}{n}\right)\left(1-\frac{n-1}{n}\right)[/dispmath]
Pošto je
[dispmath]1-\frac{1}{n}<1,\;1-\frac{2}{n}<1,\;\cdots ,\;1-\frac{n-2}{n}<1,\;1-\frac{n-1}{n}<1[/dispmath]
zaključujemo da je
[dispmath]\left(1+\frac{1}{n}\right)^n<1+1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots +\frac{1}{n!}[/dispmath]
Ako dokažemo da je suma na desnoj strani nejednakosti ograničena odozgo, iz toga će, s obzirom na prethodnu nejednakost, automatski slediti i ograničenost odozgo niza [inlmath]\left(1+\frac{1}{n}\right)^n[/inlmath].

---

Dokazaćemo da je [inlmath]1+1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots +\frac{1}{n!}<3[/inlmath]:
[dispmath]1+1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\cdots +\frac{1}{n!}=[/dispmath][dispmath]=1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3\cdot 2}+\frac{1}{4\cdot 3\cdot 2}+\cdots +\frac{1}{n\left(n-1\right)\left(n-2\right)\cdots 3\cdot 2}<[/dispmath][dispmath]<1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 2\cdot 2}+\cdots +\frac{1}{\underbrace{2\cdot 2\cdot 2\cdots 2\cdot 2}_{n-1\mbox{ dvojaka}}}=[/dispmath][dispmath]=1+\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\cdots +\frac{1}{2^{n-1}}\right)=[/dispmath][dispmath]=1+1\cdot\frac{1-\left(\frac{1}{2}\right)^n}{1-\frac{1}{2}}=1+2\left(1-\frac{1}{2^n}\right)<1+2\cdot 1=3[/dispmath]
Ovime je dokazano da je suma [inlmath]1+1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots +\frac{1}{n!}[/inlmath] ograničena odozgo, pri čemu su svi njeni članovi strogo manji od [inlmath]3[/inlmath], a odatle sledi da to isto važi i za niz [inlmath]\left(1+\frac{1}{n}\right)^n[/inlmath].

---

Pošto je u prethodnom postu pokazano da za svaki član niza [inlmath]\left(1+\frac{1}{n}\right)^n[/inlmath] važi da je [inlmath]\ge 2[/inlmath] (pri čemu je prvi član tog niza jednak [inlmath]2[/inlmath] a ostali su strogo veći od [inlmath]2[/inlmath]), zaključujemo da svi članovi tog niza pripadaju intervalu [inlmath]\left[2,3\right)[/inlmath]. Prema tome, u tom intervalu se mora nalaziti i granična vrednost tog niza (koja iznosi [inlmath]e[/inlmath]).

Svaka čast,ne mogu baš reći da mi je sve jasno,jer upravo učim nizove.