MATEMANIJA

Ovo me zbunjuje već duže vrijeme.Tražio sam dokaze po netu ali uvijek nađem nešto nepotpuno ili prekomplikovano sa derivacijama itd. Znači uglavnom s onim što nisam učio.Naravno to nisam našao na forumu jer vjerovatno i nema toga.Pokušavao sam ja nešto dokazivati preko grafika ali nije mi se dalo.
[dispmath]\lim_{x\to c}(f(x)+g(x))=\lim_{x\to c}f(x)+\lim_{x\to c}g(x)[/dispmath][dispmath]\lim_{x\to c}(f(x)-g(x))=\lim_{x\to c}f(x)-\lim_{x\to c}g(x)[/dispmath][dispmath]\lim_{x\to c}(f(x)\cdot g(x))=\lim_{x\to c}f(x)\cdot\lim_{x\to c}g(x)[/dispmath][dispmath]\lim_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim\limits_{x\to c}f(x)}{\lim\limits_{x\to c}g(x)}[/dispmath]
Najbolje bi bilo ako neko može da ovo razjasni pa čak i ne mora skoz makar da imam veze s ovim.

Na podskupu realnih brojeva [inlmath]A[/inlmath] (uz konacno [inlmath]a,b[/inlmath]) limes bi bio:
[dispmath]\lim_{x\to a}f(x)=b\;\Longleftrightarrow\;(\forall\varepsilon >0)(\exists\delta >0)(\forall x\in A)(0<|x-a|<\delta\Rightarrow |f(x)-b|<\varepsilon)[/dispmath]
E sad, ako imamo dve funkcije [inlmath]f(x)[/inlmath] i [inlmath]g(x)[/inlmath] koje za [inlmath]x\to c[/inlmath] teze ka [inlmath]b_1[/inlmath], odnosno [inlmath]b_2[/inlmath], onda mozemo naci okoline [inlmath]\delta_1[/inlmath] i [inlmath]\delta_2[/inlmath] takve da vazi:
[dispmath]\lim_{x\to c}f(x)=b_1\;\Longleftrightarrow\;(\forall\varepsilon >0)(\exists\delta_1>0)(\forall x\in A)\left(0<|x-c|<\delta_1\Rightarrow |f(x)-b_1|<\frac{\varepsilon}{2}\right)[/dispmath][dispmath]\lim_{x\to c}g(x)=b_2\;\Longleftrightarrow\;(\forall\varepsilon >0)(\exists\delta_2>0)(\forall x\in A)\left(0<|x-c|<\delta_2\Rightarrow |g(x)-b_2|<\frac{\varepsilon}{2}\right)[/dispmath]
Za [inlmath]\delta =\min(\delta_1,\delta_2)[/inlmath] ce vaziti da iz [inlmath]0<|x-c|<\delta[/inlmath] sledi i [inlmath]|f(x)-b_1|<\frac{\varepsilon}{2}[/inlmath] i [inlmath]|g(x)-b_2|<\frac{\varepsilon}{2}[/inlmath].

Iz nejednakosti trougla koju smo spominjali ne tako davno na drugoj temi (onoj koju je Daniel dao, ne ona geometrijska):
[dispmath]|f(x)+g(x)-b_1-b_2|=|f(x)-b_1+g(x)-b_2|\le |f(x)-b_1|+|g(x)-b_2|<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon[/dispmath]
Time smo pokazali da je granicna vrednost [inlmath]\lim\limits_{x\to c}\left(f(x)+g(x)\right)=b_1+b_2[/inlmath].

Druga osobina se moze dokazati iz prve ako se iskoristi da je za konacno [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]\lim\limits_{x\to c}\left[af(x)\right]=a\lim\limits_{x\to c}f(x)[/inlmath] (probaj ovo da dokazes sam):
[dispmath]\lim_{x\to c}\left(f(x)-g(x)\right)=\lim_{x\to c}f(x)+\lim_{x\to c}(-g(x))=\lim_{x\to c}f(x)-\lim_{x\to c}g(x)=b_1-b_2[/dispmath]

Iskreno,slabo mi je šta ovde jasno.Misliš na ovu nejednakost? U školi smo limes funkcije radili na onaj školski način bez gomile tih formula. Ali ipak moraću ih znati da bih ovo mogao razumjeti.Ne mogu da razumijem jer mi nije baš jasno uopšteno ono sa epsilonom i deltom(mislim na te sve formule). Znaš jasno je tu meni nešto povezano je to sa limesom sa desne i lijeve strane.Tako da kontam ja tu nešto ali treba to još razraditi.Ili najbolje bi bilo ako imaš neki dobar pdf ili bilo šta već (ne moraš sve pisati) sa dobrim tim objašnjenjima ovih formula od početka samo okači pa ću ja to gledati.Uopšte mi nije jasno kako se čita ta prva formula,jer kod zagrada ne vidim nikakve znakove a u njima vidim. Mislim ono nisu zagrade povezane konjukcijom disjukcijom ili sta već? A ovo za postoji i svaki mi je jasno.

Da, mislim na tu nejednakost.
[dispmath]\left|x_1+x_2+\cdots +x_n\right|\le\left|x_1\right|+\left|x_2\right|+\cdots +\left|x_n\right|[/dispmath]
Za dva broja svodljiva je na: [dispmath]|a+b|\le |a|+|b|[/dispmath]
Formule koje si naveo su logicne, a i jednostavne, tako da u principu mozes da ih koristis bez da ulazis u ovaj dokaz koji sam dao (dokaze za proizvod i kolicnik nisam ispisao jos uvek, ali svakako se i tu koristi prica o epsilon-delta okolinama koju isprva treba da savladas). Ako pak zelis da razumes i te formule, i sam pojam limesa funkcije, preporucujem da detaljnije izucis preciznu definiciju samog limesa, pa da onda predjes na dokazivanje ovih formula.

Intuitivno, kada [inlmath]x[/inlmath] tezi [inlmath]a[/inlmath] onda [inlmath]f(x)[/inlmath] tezi [inlmath]b[/inlmath], pa onda kazemo da je [inlmath]\lim\limits_{x\to a}f(x)=b[/inlmath]. Preciznije, to bi bilo:
[dispmath]\lim_{x\to a}f(x)=b\;\Longleftrightarrow\;(\forall\varepsilon >0)(\exists\delta >0)(\forall x\in A)(0<|x-a|<\delta\Rightarrow |f(x)-b|<\varepsilon)[/dispmath]
E sad, ovo u stvari znaci da se za svaku vrednost [inlmath]\varepsilon >0[/inlmath] (koju proizvoljno biras) moze naci neko [inlmath]\delta >0[/inlmath] (koje zavisi od izabranog [inlmath]\varepsilon[/inlmath]) takvo da za svako [inlmath]x[/inlmath] iz razmatranog podskupa realnih brojeva [inlmath]A[/inlmath] vazi da iz [inlmath]0<|x-a|<\delta[/inlmath] sledi [inlmath]|f(x)-b|<\varepsilon[/inlmath].

Ovo je Kosijeva definicija limesa. Ima jos nacina da se precizno definise limes ekvivalentnih prethodnom (recimo, pomocu filtera), ali ovo je najjednostavnije.

Evo i ilustracije, možda će ti ona ovo malo približiti.

Navedena formula,
[dispmath](\forall\varepsilon >0)(\exists\delta >0)(\forall x\in A)(0<|x-a|<\delta\Rightarrow |f(x)-b|<\varepsilon)[/dispmath]
znači sledeće:


Koliko god malu okolinu vrednosti [inlmath]b[/inlmath] da odaberemo (to ti je ovaj interval [inlmath]\left(b-\varepsilon,b+\varepsilon\right)[/inlmath] na [inlmath]y[/inlmath]-osi), uvek će postojati neka okolina vrednosti [inlmath]a[/inlmath] (na slici je to interval [inlmath]\left(a-\delta,a+\delta\right)[/inlmath] na [inlmath]x[/inlmath]-osi) koju će funkcija [inlmath]f\left(x\right)[/inlmath] preslikavati u prvobitno odabranu okolinu vrednosti [inlmath]b[/inlmath].
E, ako je to ispunjeno, tada kažemo da postoji limes u tački [inlmath]a[/inlmath] i da on iznosi [inlmath]b[/inlmath].

Rastumačio sam Kosijevu(Cauchy`s) definiciju limesa.Mislim da mi je poprilično jasna. Jasno mi je do ovoga nema šta.
[dispmath]|f(x)-b_1|<\frac{\varepsilon}{2}[/dispmath][dispmath]|g(x)-b_2|<\frac{\varepsilon}{2}[/dispmath]
[dispmath]|f(x)+g(x)-b_1-b_2|\le|f(x)-b_1|+|g(x)-b_2|[/dispmath]
Ovako bi trebalo da slijedi iz te nejednakosti trougla a sad ne znam odkuda dva puta povezano sa jednako [inlmath]|f(x)+g(x)-b_1-b_2|[/inlmath] i ovo [inlmath]<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon[/inlmath] a i kad ima ovo opet ne razumijem kakve veze ima ovo sa prvim svojstvom zbira.Vjerovatno ne razumijem dovoljno dobro nejednakost trougla. Tacnije me zbunjuje kako ovo pretvori u dokaz. Ne znam da li si preskočio neki korak ili se iz ovoga odmah to može zaključiti. Kako? Ako može tu malo detaljnije.

Posto limesi funkcija [inlmath]f(x)[/inlmath] i [inlmath]g(x)[/inlmath] za [inlmath]x\to c[/inlmath] iznose [inlmath]b_1[/inlmath] i [inlmath]b_2[/inlmath] onda prema datoj definiciji limesa vazi:
[dispmath](\forall\varepsilon >0)(\exists\delta_1>0)(\forall x\in A)\left(0<|x-c|<\delta_1\Rightarrow |f(x)-b_1|<\varepsilon\right)[/dispmath][dispmath](\forall\varepsilon >0)(\exists\delta_2>0)(\forall x\in A)\left(0<|x-c|<\delta_2\Rightarrow |g(x)-b_2|<\varepsilon\right)[/dispmath]
Posto [inlmath]\varepsilon[/inlmath] biramo proizvoljno, mozemo u prethodnim formulama da ga zamenimo i sa [inlmath]\frac{\epsilon}{2}[/inlmath]:
[dispmath](\forall\varepsilon >0)(\exists\delta_1>0)(\forall x\in A)\left(0<|x-c|<\delta_1\Rightarrow |f(x)-b_1|<\frac{\varepsilon}{2}\right)[/dispmath][dispmath](\forall\varepsilon >0)(\exists\delta_2>0)(\forall x\in A)\left(0<|x-c|<\delta_2\Rightarrow |g(x)-b_2|<\frac{\varepsilon}{2}\right)[/dispmath]
Da bi limes od [inlmath]f(x)+g(x)[/inlmath] za [inlmath]x\to c[/inlmath] bio [inlmath]b_1+b_2[/inlmath] treba da bude:
[dispmath](\forall\varepsilon >0)(\exists\delta>0)(\forall x\in A)\left(0<|x-c|<\delta\Rightarrow |f(x)+g(x)-b_1-b_2|<\varepsilon\right)[/dispmath]
Ako se za ovo [inlmath]\delta[/inlmath] odabere manji od brojeva [inlmath]\delta_1[/inlmath] i [inlmath]\delta_2[/inlmath] vazice i [inlmath]|f(x)-b_1|<\frac{\varepsilon}{2}[/inlmath] i [inlmath]|g(x)-b_2|<\frac{\varepsilon}{2}[/inlmath]. Treba pokazati da ce onda vaziti i [inlmath]|f(x)+g(x)-b_1-b_2|<\varepsilon[/inlmath]. Iskoristimo nejednakost trougla:
[dispmath]|f(x)+g(x)-b_1-b_2|=|f(x)-b_1+g(x)-b_2|\le |f(x)-b_1|+|g(x)-b_2|<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon[/dispmath]
Time smo pokazali da je [inlmath](\forall\varepsilon >0)(\exists\delta>0)(\forall x\in A)\left(0<|x-c|<\delta\Rightarrow |f(x)+g(x)-b_1-b_2|<\varepsilon\right)[/inlmath], i da je otuda:
[dispmath]\lim_{x\to c}\left(f(x)+g(x)\right)=\lim_{x\to c}f(x)+\lim_{x\to c}g(x)=b_1+b_2[/dispmath]

Evo pregledao sam ovo par puta i dokazao ovo prvo svojstvo zbira.Moglo bi se reći leglo mi je nešto. Kad mi već spomenu tu razliku da se izvodi iz ove formule. Lako je izvesti kada znam tu formulu
[dispmath]\lim_{x\to c}[af(x)]=\lim_{x\to c}a\cdot\lim_{x\to c}f(x)=a\lim_{x\to c}f(x)[/dispmath]
jer je
[dispmath]\lim_{x\to c}a=a[/dispmath]
Tako da nije problem ovo drugo izvesti.Stvar je u tome da je ovo izgleda nastalo od proizvoda.Aj kada smo već tu ako možeš daj mi samo neke upute kako se izvodi proizvod i količnik pa ću ja probati sam ako znadnem.

Formula za limes proizvoda kaze:
[dispmath]\lim_{x\to c}(f(x)\cdot g(x))=\lim_{x\to c}f(x)\cdot\lim_{x\to c}g(x)[/dispmath]
Dokazimo je. Opet cemo poci od definicje limesa.
[dispmath]\lim_{x\to a}f(x)=b\;\Longleftrightarrow\;(\forall\varepsilon >0)(\exists\delta >0)(\forall x\in A)(0<|x-a|<\delta\Rightarrow |f(x)-b|<\varepsilon)[/dispmath]
Neka je [inlmath]\lim\limits_{x\to c}f(x)=b_1[/inlmath] i [inlmath]\lim\limits_{x\to c}g(x)=b_2[/inlmath]. Iskoristimo drugi od ova dva limesa. Epsilon biramo proizvoljno – dakle mozemo za epsilon izabrati i [inlmath]\frac{\varepsilon}{2|b_1|}[/inlmath] i [inlmath]\frac{|b_2|}{2}[/inlmath]. Za svaku od te dve vrednosti [inlmath]\varepsilon[/inlmath] imamo i odgovarajuce vrednosti [inlmath]\delta_1[/inlmath] i [inlmath]\delta_2[/inlmath]. Dakle, za tako izabrano [inlmath]\varepsilon[/inlmath] postoji neko [inlmath]\delta[/inlmath] takvo da:
[dispmath]0<|x-c|<\delta_1\Rightarrow |g(x)-b_2|<\frac{\varepsilon}{2|b_1|}[/dispmath][dispmath]0<|x-c|<\delta_2\Rightarrow |g(x)-b_2|<\frac{|b_2|}{2}[/dispmath]
Slicno, za limes [inlmath]\lim\limits_{x\to c}f(x)=b_1[/inlmath] uzimajuci da je [inlmath]\varepsilon = \frac{\varepsilon}{3b_2}[/inlmath] mozemo naci neko [inlmath]\delta_3[/inlmath] takvo da vazi:
[dispmath]0<|x-c|<\delta_3\Rightarrow |f(x)-b_1|<\frac{\varepsilon}{3|b_2|}[/dispmath]
Uzmimo za [inlmath]\delta[/inlmath] najmanju od prethodne tri delte... Uz [inlmath]0<|x-c|<\delta[/inlmath] vazice sve tri prethodne implikacije...

Treba da dokazemo da je limes proizvoda [inlmath]b_1b_2[/inlmath], tj. da postoji neko [inlmath]\delta[/inlmath] takvo da za svako pozitivno [inlmath]\varepsilon[/inlmath] vazi:
[dispmath]0<|x-c|<\delta\Rightarrow |f(x)g(x)-b_1b_2|<\varepsilon[/dispmath]
Dokazimo to. Pre svega, prosirimo [inlmath]|f(x)g(x)-b_1b_2|=|f(x)g(x)-b_1g(x)+b_1g(x)-b_1b_2|[/inlmath] i onda iskoristimo nejednakost trougla:
[dispmath]|f(x)g(x)-b_1g(x)+b_1g(x)-b_1b_2|\le |f(x)g(x)-b_1g(x)|+|b_1g(x)-b_1b_2|=|g(x)||f(x)-b_1|+|b_1||g(x)-b_2|[/dispmath]
S obzirom na to da vazi [inlmath]|g(x)-b_2|<\frac{|b_2|}{2}[/inlmath], vazi i [inlmath]\frac{|b_2|}{2}<|g(x)|<\frac{3|b_2|}{2}[/inlmath]. Ako iskoristimo i [inlmath]|g(x)-b_2|<\frac{|b_1|}{2}[/inlmath], kao i [inlmath]|f(x)-b_1|<\frac{\varepsilon}{3|b_2|}[/inlmath], kada to uvrstimo u [inlmath]|g(x)||f(x)-b_1|+|b_1||g(x)-b_2|[/inlmath], dobijamo:
[dispmath]|g(x)|\cdot |f(x)-b_1|+|b_1|\cdot |g(x)-b_2|<\frac{\varepsilon}{3|b_2|}\cdot\frac{3|b_2|}{2}+|b_1|\cdot\frac{\varepsilon}{2|b_1|}=\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\epsilon[/dispmath]
Time je dokaz zavrsen, s tim sto valja napomenuti da ne vazi za slucaj da je neki od brojeva [inlmath]b_1[/inlmath] ili [inlmath]b_2[/inlmath] jednak nuli (zbog deljenja nulom koje imamo u postupku). Taj slucaj valja posebno argumentovati, sto prepustam tebi, kao i dokaz za limes kolicnika. Sto se tog dokaza tice – dacu ti ideju. Treba pokazati da je limes [inlmath]\lim\limits_{x\to c}\frac{1}{f(x)}=\frac{1}{b_1}[/inlmath], i onda da se samo iskoristi pravilo za proizvod koje izvedoh sada...

Svaka čast. Zaboravio sam gore napisati svojstvo limesa [inlmath]\lim\limits_{x\to c}(f(x))^n=\left(\lim\limits_{x\to c}f(x)\right)^n[/inlmath] a [inlmath]\lim\limits_{x\to c} \left(\frac{1}{f(x)}\right)=\frac{1}{b}[/inlmath] se upravo izvodi preko ovoga ovako
[dispmath]\lim_{x\to c}(f(x))=b\;/^{-1}[/dispmath][dispmath]\left(\lim_{x\to c}f(x)\right)^{-1}=b^{-1}[/dispmath][dispmath]\lim_{x\to c}(f(x))^{-1}=\frac{1}{b}[/dispmath][dispmath]\enclose{box}{\lim_{x\to c}\frac{1}{f(x)}=\frac{1}{b}}[/dispmath]
Ja stavrno ne znam kao da ovo svojstvo drugačije dokažem zapravno ne znam da li uopšte i može. Meni samo ovo pada na pamet. Ali opet me zbunjuje ovo svojstvo stepena uopšteno, ne znam kako da njega dokažem.

Svojstvo za kolicnik bi valjalo izvesti iz same definicije limesa, kao i ovo prethodno...

Neka je [inlmath]\lim\limits_{x\to a}f(x)=b[/inlmath]. Onda postoji neko [inlmath]\delta_1[/inlmath] i neko [inlmath]\delta_2[/inlmath] tako da vazi:
[dispmath]0<|x-a|<\delta_1\Rightarrow |f(x)-b|<\frac{|b|}{2}[/dispmath][dispmath]0<|x-a|<\delta_2\Rightarrow |f(x)-b|<\frac{|b|^2\varepsilon}{2}[/dispmath]
Izaberemo manju deltu (vazice obe posledicne nejednakosti), i pokazemo da je limes reciprocne vrednosti [inlmath]\frac{1}{b}[/inlmath]. Kada se iskoriste prethodne nejednakosti:
[dispmath]\left|\frac{1}{f(x)}-\frac{1}{b}\right|=\frac{|b-f(x)|}{|b||f(x)|}<\varepsilon[/dispmath]

Evo sada sam završio sa izvođenjem svojstva količnika i proizvoda.Uspješno završen posao.I nije mi baš najjasniji tvoj način izvođenja za recipročnu vrijednost.Jeste preskočio si par koraka tako da ja to ne mogu da upratim.Ne znam šta kažeš za onaj moj način preko stepena on je još jednostavniji ?

Tvoj nacin uopste nije validan dokaz jer u stvari samo koristis gotovu formulu koju nisi dokazao. Kod dokaza osnovnih svojstava limesa, u koje izmedju ostalog spada ono koje si sam iskoristio, treba poci od definicije limesa, da bi onda pokazao da tako definisan limes ima navedena svojstva... Imalo bi smisla da dokazes onu formulu sa stepenom iz definicije, pa da onda uvrstis [inlmath]n=-1[/inlmath] (dakle, izvodjenje jednog svojstva pozivanjem na drugo svojstvo, ali dokazano svojstvo). Ovo sto si uradio je otprilike kao da na pitanje zasto pada kisa odgovoris "jer je oblacno". A zasto je oblacno?

Dokaz sam pri kraju skratio namerno kako bih ti ostavio malo posla za tumacenje, ali ako zelis evo detaljnije. Uzmes kao i proslih par puta manju deltu, i onda vaze obe nejednakosti, i [inlmath]|f(x)-b|<\frac{|b|}{2}[/inlmath] i [inlmath]|f(x)-b|<\frac{|b|^2\varepsilon}{2}[/inlmath]

Dokazujes da je limes [inlmath]\lim\limits_{x\to a}\frac{1}{f(x)}=\frac{1}{b}[/inlmath]. Da bi to bilo tako, onda za svako [inlmath]\varepsilon[/inlmath] mora da postoji neko [inlmath]\delta[/inlmath] tako da vazi:
[dispmath]0<|x-a|<\delta\Rightarrow\left|\frac{1}{f(x)}-\frac{1}{b}\right|<\varepsilon[/dispmath]
Ako izaberemo ono gornje delta, vaze i gornje nejednakosti, i onda malo transformises izraz [inlmath]\left|\frac{1}{f(x)}-\frac{1}{b}\right|<\varepsilon[/inlmath] da bi pokazao da je manji od [inlmath]\varepsilon[/inlmath]. Dobijes [inlmath]\left|\frac{1}{f(x)}-\frac{1}{b}\right|=\frac{|b-f(x)|}{|b||f(x)|}[/inlmath], iskoristis ove predjasnje nejednakosti, i ispadne da je to manje od [inlmath]\varepsilon[/inlmath], cime je dokazano i ovo svojstvo.

Evo sada ću to pokušati pokazati iz svojstva limesa dokazati to recipročno svojsto.Evo pregledao sam još malo ovo svojstvo proizvoda.Mislio sam da ću nešto znati dokazati ali sada kada sam pokušao ne znam.

Rječ je ovde za [inlmath]|g(x)-b_2|<\frac{|b_2|}{2}[/inlmath] važi [inlmath]\frac{|b_2|}{2}<|g(x)|<\frac{3|b_2|}{2}[/inlmath] tu je problem mislio sam da idem preko nejednakosti trougla u kompleksnoj ravni ali izgleda ne ide jer je [inlmath]<[/inlmath] a ne [inlmath]\le[/inlmath]
Evo radio sam ja nešto ali čisto sumljam da mi je tačno.
[dispmath]|g(x)-b_2|\le |g(x)|+|b_2|\le\frac{|b_2|}{2}[/dispmath][dispmath]|g(x)|+|b_2|\le\frac{|b_2|}{2}[/dispmath][dispmath]|g(x)|\le\frac{|b_2|}{2}-|b_2|[/dispmath][dispmath]|g(x)|\le -\frac{|b_2|}{2}[/dispmath][dispmath]\enclose{box}{|g(x)|\ge\frac{|b_2|}{2}}[/dispmath]
Sada po nekoj mojoj logici ako važi ono gore mora i ovo da važi jer je nekako logično
[dispmath]|g(x)-b_2|\le |g(x)|-|b_2|\le\frac{|b_2|}{2}[/dispmath][dispmath]|g(x)|-|b_2|\le\frac{|b_2|}{2}[/dispmath][dispmath]|g(x)|\le\frac{|b_2|}{2}|+|b_2|[/dispmath][dispmath]\enclose{box}{|g(x)|\le\frac{3|b_2|}{2}}[/dispmath]
Sada koliko je ovo pravilno ne znam. I ako jeste kako se prevorio znak [inlmath]\le[/inlmath] u [inlmath]<[/inlmath]

Ako je [inlmath]|g(x)|[/inlmath] manje od nekog broja i od jos nekog broja – onda izmedju ta dva ne mozes uspostaviti nikakvu nejednakost (bar ne bez dodatnih informacija), ne znas koji je od njih veci, samo znas da su oba veca od [inlmath]|g(x)|[/inlmath]. Tako da ovo sto si napisao nije tacno...

No, evo jos jedan dokaz pravila za proizvod, cini mi se jednostavniji od prethodnog...

Uzimajuci da je [inlmath]\lim\limits_{x\to c}f(x)=b_1[/inlmath] i [inlmath]\lim\limits_{x\to c}g(x)=b_2[/inlmath], koristeci vec dokazano svojstvo za razliku, mozemo konstatovati da je [inlmath]\lim\limits_{x\to c}\left(f(x)-b_1\right)=0[/inlmath] i [inlmath]\lim\limits_{x\to c}\left(g(x)-b_2\right)=0[/inlmath]. To takodje znaci da postoji neko [inlmath]\delta_1[/inlmath] takvo da je za proizvoljno [inlmath]\varepsilon[/inlmath]:
[dispmath]0<|x-c|<\delta_1\Rightarrow\left|(f(x)-b_1)-0\right|<\sqrt{\varepsilon}[/dispmath]
Slicno, za neko [inlmath]\delta_2[/inlmath]:
[dispmath]0<|x-c|<\delta_2\Rightarrow\left|(g(x)-b_2)-0\right|<\sqrt{\varepsilon}[/dispmath]
Uzmemo opet manju deltu, i pokazimo da je [inlmath]\lim\limits_{x\to c}\left[(f(x)-b_1)\cdot (g(x)-b_2)\right]=0[/inlmath]. Da bi bilo tako, mora da vazi [inlmath]0<|x-c|<\delta\Rightarrow\left|(f(x)-b_1)(g(x)-b_2)-0\right|<\varepsilon[/inlmath], a kako je [inlmath]\left|(f(x)-b_1)(g(x)-b_2)-0\right|=|f(x)-b_1|\cdot |g(x)-b_2|<\sqrt{\varepsilon}\cdot\sqrt{\varepsilon}=\varepsilon[/inlmath], zakljucujemo da to jeste ispunjeno.

Posto smo to dokazali, mozemo dalje... Pre svega, izmnozimo [inlmath](f(x)- b_1)\cdot (g(x)-b_2)[/inlmath], i izrazimo [inlmath]f(x)g(x)[/inlmath] odatle. Dobijamo:
[dispmath]f(x)g(x)=(f(x)-b_1)\cdot (g(x)-b_2)+b_2f(x)+b_1g(x)-b_1b_2[/dispmath]
Propustimo limes kroz ovaj izraz:
[dispmath]\lim_{x\to c}f(x)g(x)=\lim_{x\to c}\left[(f(x)-b_1)\cdot (g(x)-b_2)+b_2f(x)+b_1g(x)-b_1b_2\right]=\\
=\lim_{x\to c}\left[(f(x)-b_1)\cdot (g(x)-b_2)\right]+\lim_{x\to c}b_2f(x)+\lim_{x\to c}b_1g(x)-\lim_{x\to c}b_1b_2[/dispmath]
Ovde smo iskoristili svojstvo za limes zbira i razlike koje smo prethodno vec dokazali... Imamo i svojstvo da konstanta moze da ide ispred limesa. To takodje valja dokazati. Pri tom, mislim na striktiniji dokaz od onog koji si ponudio, tj. onaj koji bi posao iz same definicije limesa. Ako idemo logikom ovog dokaza ne bi cak prosao ni taj tvoj manje striktan, jer dokazujes nesto koristeci svojstvo za proizvod, a da pri tom koristis to nesto u dokazu za proizvod). Taj dokaz cu da ispisem kad zavrsim ovaj trenutni, za proizvod. Uz prethodni limes gde smo pokazali da je limes onog proizvoda razlika nula, i ovo sa konstantom, dobijamo:
[dispmath]\lim_{x\to c}f(x)g(x)=0+b_1b_2+b_1b_2-b_1b_2=b_1b_2[/dispmath]
Time smo dokazali svojstvo vezano za proizvod... E sad, jos ovo za konstantu. Treba pokazati da je [inlmath]\lim\limits_{x\to c}[kf(x)]=k\lim\limits_{x\to c}f(x)[/inlmath]. Koristeci definiciju limesa imamo neko delta takvo da (uzecu da je limes od [inlmath]f(x)[/inlmath] za [inlmath]x\to c[/inlmath] opet [inlmath]b_1[/inlmath]):
[dispmath]0<|x-c|<\delta\Rightarrow |f(x)-b_1|<\frac{\varepsilon}{|k|}[/dispmath]
Treba da pokazemo (uzecemo isto [inlmath]\delta[/inlmath]):
[dispmath]0<|x-c|<\delta\Rightarrow |kf(x)-kb_1|<\varepsilon[/dispmath]
Kako je [inlmath]|kf(x)-kb_1|=|k||f(x)-b_1|<|k|\cdot\frac{\varepsilon}{|k|}=\varepsilon[/inlmath], to zaista vazi.

E sad, posto su sad sva svojstva dokazana, da sumiram pricu... Limes je striktno definisan na ovaj nacin sa epsilon-delta okolinama, i onda, ovako definisan ima odredjena svojstva koja slede iz same definicije, i stoga se moraju iz nje i izvesti (ili drugih svojstava koje iz nje slede). Tako nemas ni kruzne argumentacije, niti pozivanja na nedokazana svojstva – tu je samo ta definicija iz koje sledi sve. Tu definiciju valja razumeti, u cemu ti ovi dokazi mozda mogu dodatno pomoci, ali po mom misljenju i nisu nuzni. Kao sto si mogao da primetis, sistem je kod svih krajnje slican – trik je u pogodnom odabiru [inlmath]\varepsilon[/inlmath]... Pri tom se retko gde (i ne puno) izlazi iz podrucja ove price o okolinama. Limes ces razumeti kada budes razumeo tu pricu, koja uopste nije toliko slozena koliko mozda zvuci da jeste. Za zadatke, pogotovo na nivou srednje skole, ovo znanje ti nece trebati. Ako se zelis udubiti, imas ovo. A kao sto rekoh, i vise od toga – prica o limesu se moze ispricati i sa filterima, recimo.

Upravu si kada sam pomnožio sa [inlmath]-1[/inlmath] dobio sam suprotne znake a zaboravio sam napisati [inlmath]-|g(x)|[/inlmath]. Mislim [inlmath]-[/inlmath] sam zaboravio. Vrtio sam ja nešto i sa tim cak kada sam to uvrstio dobio sam [inlmath]\frac{|b-f(x)|}{|b||f(x)|}<\varepsilon[/inlmath] ali sigurno to nije tačno. Ali pokušaću ovo uraditi sve ponovo.