MATEMANIJA

Opet ja
Imam par nejasnoca u vezi limesa.
Rjesavao sam 2 zadatka, od kojeg jednom znam rjesit ali napamet, sto nije dobro, nemogu ga potpuno shvatit.
Pitanje je, zasto nisam primjenio ono pravilo uvjek treba dijeliti s najvecom potencijom? Nego u ovom zadatku smo djelili samo sa [inlmath]n[/inlmath].
To ima neke veze s ovim korjenom al nikako nemogu potpuno da skuzim, ovaj korjen me buni. Pa ako moze to neko pojasnit. Ono sta je u kvadratu ne razumijem.

b)
[dispmath]\lim_{n\to\infty}\!\left(n-\sqrt{n^2-2n-3}\right)\!\cdot\frac{n+\sqrt{n^2-2n-3}}{n+\sqrt{n^2-2n-3}}\!=\!\lim_{n\to\infty}\frac{n^2\!-\left(n^2-2n-3\right)}{n+\sqrt{n^2-2n-3}}\!=\!\lim_{n\to\infty}\frac{\cancel{n^2}\!\!-\!\cancel{n^2}\!+2n+3}{n+\sqrt{n^2-2n-3}}=[/dispmath][dispmath]\underset{\begin{array}{l} \displaystyle \text{OVAJ DIO!!!}\\ \displaystyle\left/:n^3\text{ ???}\right. \end{array}}{\enclose{box}{=\lim_{n\to\infty}\frac{2n+3\enspace/\!:n}{\left.n+\sqrt{n^2-2n-3}\enspace\right/\!:n}}}=\!\lim_{n\to\infty}\frac{2+\!\cancelto{0}{\frac{3}{n}}}{1+\sqrt{1-\!\cancelto{0}{\frac{2}{n}}-\!\cancelto{0}{\frac{3}{n^2}}}}=\!\lim_{n\to\infty}\frac{2+0}{1+\sqrt{1-0-0}}=\frac{2}{1+1}=\enclose{circle}{1}[/dispmath]

---

Drugi zadatak je onaj u kojem trebam koristit ono [inlmath]e[/inlmath]. Poceo sam rjesavat pa sam zapeo na pola valjda? Pa ako moze objasnjenje kako dalje
Ovdje di su upitnici neznam kako se dobilo ovo u kvadratu!

c)
[dispmath]\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n-3}{n}\right)^{\Large\frac{n}{2}}=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n}{n}-\frac{3}{n}\right)^{\Large\frac{n}{2}}=\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{3}{n}\right)^{\Large\frac{n}{2}}=[/dispmath][dispmath]\underset{\displaystyle\text{??}}{\enclose{box}{=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{-\frac{n}{3}}\right)^{\Large\frac{n}{2}}}}=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{\Large-\frac{3n}{2}}=\lim_{n\to\infty}\left[\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\right]^{\large-\frac{3}{2}}=e^{\large-\frac{3}{2}}=\enclose{circle}{\frac{1}{e^{\large\frac{3}{2}}}}[/dispmath]

Hajmo prvo ovaj prvi zadatak.

Tebe buni zašto smo u izrazu
[dispmath]\lim_{n\to\infty}\frac{2n+3}{n+\sqrt{n^2-2n-3}}[/dispmath]
sve delili sa [inlmath]n[/inlmath], kad je pravilo da delimo najvećom potencijom.

Pa u tom izrazu [inlmath]n[/inlmath] i jeste najveća potencija. Ovaj član [inlmath]n^2[/inlmath] koji vidiš, on je pod korenom, pa se njegov kvadrat i taj koren, da tako kažem, anuliraju i možemo ga posmatrati kao [inlmath]n[/inlmath]. A možemo to posmatrati i ovako – kada to [inlmath]n[/inlmath] kojim delimo „uđe“ pod koren, ono tada postaje [inlmath]n^2[/inlmath].

Ili, evo kako bi to izgledalo, egzaktnije. Delimo, dakle, i brojilac i imenilac sa [inlmath]n[/inlmath]:
[dispmath]\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{2n+3}{n}}{\frac{n+\sqrt{n^2-2n-3}}{n}}=\lim_{n\to\infty}\frac{2+\frac{3}{n}}{1+\frac{\sqrt{n^2-2n-3}}{n}}=\lim_{n\to\infty}\frac{2+\frac{3}{n}}{1+\frac{\sqrt{n^2-2n-3}}{\sqrt{n^2}}}=[/dispmath][dispmath]=\lim_{n\to\infty}\frac{2+\frac{3}{n}}{1+\sqrt{\frac{n^2-2n-3}{n^2}}}=\lim_{n\to\infty}\frac{2+\frac{3}{n}}{1+\sqrt{\frac{n^2}{n^2}-\frac{2n}{n^2}-\frac{3}{n^2}}}=\lim_{n\to\infty}\frac{2+\frac{3}{n}}{1+\sqrt{1-\frac{2}{n}-\frac{3}{n^2}}}[/dispmath]
Sad jasnije malo?

DommY je napisao:Drugi zadatak je onaj u kojem trebam koristit ono [inlmath]e[/inlmath]. Poceo sam rjesavat pa sam zapeo na pola valjda? Pa ako moze objasnjenje kako dalje
Ovdje di su upitnici neznam kako se dobilo ovo u kvadratu!

Ok, znači, buni te ovaj korak:
[dispmath]\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{3}{n}\right)^\frac{n}{2}=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{-\frac{n}{3}}\right)^\frac{n}{2}[/dispmath]
Tu su u razlomku [inlmath]-\frac{3}{n}[/inlmath] i brojilac i imenilac podeljeni sa [inlmath]3[/inlmath], a zatim je onaj minus ispred razlomka prešao u imenilac. Na taj način ovaj limes je sveden na pogodan oblik da ga, u kasnijim koracima, možemo predstaviti preko broja [inlmath]e[/inlmath].

Inače, u koraku
[dispmath]\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{-\frac{n}{3}}\right)^\frac{n}{2}=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{-\frac{3n}{2}}[/dispmath]
smena je uvedena prilično nespretno, jer, kad se uvede smena, logično bi bilo da se obeleži drugim slovom, zato da ne bi bilo zbunjivanja.

Znači, smena bi bila

[inlmath]t=-\frac{n}{3}\quad\Rightarrow\quad n=-3t[/inlmath]

pa bi ovaj limes postao
[dispmath]\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{-\frac{n}{3}}\right)^\frac{n}{2}=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{t}\right)^\frac{-3t}{2}[/dispmath]
i to je upravo ono što je u zadatku navedeno kao sledeći korak, samo što je umesto [inlmath]t[/inlmath] napisano [inlmath]n[/inlmath].

Daniel je napisao:Hajmo prvo ovaj prvi zadatak.

Tebe buni zašto smo u izrazu
[dispmath]\lim_{n\to\infty}\frac{2n+3}{n+\sqrt{n^2-2n-3}}[/dispmath]
sve delili sa [inlmath]n[/inlmath], kad je pravilo da delimo najvećom potencijom.

Pa u tom izrazu [inlmath]n[/inlmath] i jeste najveća potencija. Ovaj član [inlmath]n^2[/inlmath] koji vidiš, on je pod korenom, pa se njegov kvadrat i taj koren, da tako kažem, anuliraju i možemo ga posmatrati kao [inlmath]n[/inlmath]. A možemo to posmatrati i ovako – kada to [inlmath]n[/inlmath] kojim delimo „uđe“ pod koren, ono tada postaje [inlmath]n^2[/inlmath].

Ili, evo kako bi to izgledalo, egzaktnije. Delimo, dakle, i brojilac i imenilac sa [inlmath]n[/inlmath]:
[dispmath]\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{2n+3}{n}}{\frac{n+\sqrt{n^2-2n-3}}{n}}=\lim_{n\to\infty}\frac{2+\frac{3}{n}}{1+\frac{\sqrt{n^2-2n-3}}{n}}=\lim_{n\to\infty}\frac{2+\frac{3}{n}}{1+\frac{\sqrt{n^2-2n-3}}{\sqrt{n^2}}}=[/dispmath][dispmath]=\lim_{n\to\infty}\frac{2+\frac{3}{n}}{1+\sqrt{\frac{n^2-2n-3}{n^2}}}=\lim_{n\to\infty}\frac{2+\frac{3}{n}}{1+\sqrt{\frac{n^2}{n^2}-\frac{2n}{n^2}-\frac{3}{n^2}}}=\lim_{n\to\infty}\frac{2+\frac{3}{n}}{1+\sqrt{1-\frac{2}{n}-\frac{3}{n^2}}}[/dispmath]
Sad jasnije malo?

A ne uopce, hvala ti puno.
Normalno da nisam kuzio kad je preskoceno 35 koraka Ljepo postupno pa se razumije, tek kad uvjezbam cu moc ovako kako sam rjesio prije s preskakanjem koraka.
Sad se bacam na ovaj drugi limes sa [inlmath]e[/inlmath]. Ovaj izgleda komplicirano...

Aha, mislim da kuzim ovaj drugi zadatak s [inlmath]e[/inlmath].
Ako sam dobro shvatio..
Dakle ja trebam limes svest na ovu formulu
[dispmath]\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=e^{2.718\ldots}[/dispmath]
i onda ono sta dode kao nije dio te "formule" (potencija ona [inlmath]\frac{3}{2}[/inlmath]) ono ide u eksponent od [inlmath]e[/inlmath] i to je rjesnje?

Upravo tako!

Znači, cilj nam je da dobijemo formulu tipa
[dispmath]\lim_{n\to\infty}\left[\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\right]^a[/dispmath]
i onda taj limes postaje [inlmath]e^a[/inlmath].

Samo, sad vidim... šta će ti ovo [inlmath]2.718\ldots[/inlmath] u eksponentu broja [inlmath]e[/inlmath]?
Ne treba to, ovaj limes je jednak samo broju [inlmath]e[/inlmath], bez tog eksponenta.

e kuzim sad, trebam sad malo na zadacima to skuzit.
da da imas pravo bez ovih [inlmath]2.7\ldots[/inlmath]
hvala!