MATEMANIJA

E ovako,koliko sam vidio ne postoji tema o l'Hospital-ovog pravilu(postoji ali je isključivo vezana za zadatke) nema onoga teoretskog djela i izvođenja nikakvog.I nema neke literature puno o ovome na interentu pa zato sam odlučio da otovrim ovu temu.Ono što mene kao prvo zanima je dokaz ove teoreme.Dokaz je kratak ali izgleda malo je komplikovaniji. Dokazuje se preko Cauchyjeve teoreme o srednjoj vrijednosti.Najbolje bi bilo kada bi neko dao neki što jednostavniji dokaz ili ako nema neka uzme ovaj.Mene u tome dokazu zbunjuje ta Cauchyjeva teorema to je ono što mi nije jasno.Ne bi bilo loše da neko i o njoj kaže nešto.
Lopitalovo pravilo se koristi kod neodređenih oblika [inlmath]\frac{0}{0}[/inlmath] i [inlmath]\frac{\infty}{\infty}[/inlmath]
[dispmath]\lim_{x\to c}f(x)=\lim_{x\to c}g(x)=0[/dispmath]
ili
[dispmath]\lim_{x\to c}f(x)=\lim_{x\to c}g(x)=\infty[/dispmath]
tada važi
[dispmath]\lim_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to c}\frac{f'(x)}{g'(x)}[/dispmath]

Pa napiši taj dokaz koji imaš, navedi šta ti u njemu nije jasno pa ćemo pojasniti...

Evo prvo uradićemo za neodređeni oblik [inlmath]\frac{0}{0}[/inlmath]
Neka [inlmath]f(x)\to0[/inlmath], [inlmath]g(x)\to0[/inlmath] Ako predefinišemo funkcije [inlmath]f[/inlmath] i [inlmath]g[/inlmath] u tački [inlmath]c[/inlmath] tako da je [inlmath]f(c)=g(c)=0[/inlmath] one će biti neprekidne na zatvorenom intervalu [inlmath][c,b][/inlmath] i diferencijabilne na [inlmath](c,b)[/inlmath]. Ovo ne mijenja limes, jer limes (po definiciji) ne zavisi od vrijednosti u datoj tački.
Ovako predefinisane funkcije [inlmath]f[/inlmath] i [inlmath]g[/inlmath] zadovoljavaju uslove Cauchyjevog teorema o srednjoj vrijednosti, prema kojoj postoji tačka [inlmath]\xi[/inlmath] u [inlmath]c<\xi<c+h[/inlmath] takva da:
[dispmath]\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}=\frac{f(c+h)-f(c)}{g(c+h)-g(c)}[/dispmath]
Kako je [inlmath]f(c)=g(c)=0[/inlmath]
[dispmath]\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}=\frac{f(c+h)}{g(c+h)}[/dispmath]
Kada [inlmath]h\to0[/inlmath], imamo [inlmath]\xi\to c[/inlmath] i stoga
[dispmath]\lim_{x\to c}\frac{f'(x)}{g'(x)}=\lim_{\xi\to c}\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}=\lim_{h\to0}\frac{f(c+h)}{g(c+h)}=\lim_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)}[/dispmath]
Kao što reko primjena te Cauchyjeve teoreme i ovo [inlmath]\xi[/inlmath] me zbunjuje u čitavnome izvođenju. Uopšte ne znam ša to znači i kako je formirana ona nejednakost.

Cauchy-jeva teorema srednje vrednosti glasi:

Cauchy je napisao:Neka su funkcije [inlmath]f[/inlmath] i [inlmath]g[/inlmath] neprekidne na zatvorenom intervalu [inlmath]\left[a,b\right][/inlmath] i diferencijabilne na otvorenom intervalu [inlmath]\left(a,b\right)[/inlmath] i neka je [inlmath]g'(x)\ne0[/inlmath] za svako [inlmath]x\in\left(a,b\right)[/inlmath]. Tada postoji tačka [inlmath]c\in\left(a,b\right)[/inlmath] takva da je
[dispmath]\frac{f'\left(c\right)}{g'\left(c\right)}=\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{g\left(b\right)-g\left(a\right)}[/dispmath]

Oni su u dokazu l'Hospital-ovog pravila upravo ovu teoremu upotrebili. Možda te zbunjuju drugačije uzete oznake. Prvo, jeste malo zbunjujuće to što na početku spominju intervale [inlmath]\left[c,b\right][/inlmath] i [inlmath]\left(c,b\right)[/inlmath], iako se [inlmath]b[/inlmath] nigde dalje u postupku ne pominje. To [inlmath]b[/inlmath] je, zapravo, [inlmath]c+h[/inlmath]. Prema tome, posmatraj prvu rečenicu kao da glasi „Ako predefinišemo funkcije [inlmath]f[/inlmath] i [inlmath]g[/inlmath] u tački [inlmath]c[/inlmath] tako da je [inlmath]f(c)=g(c)=0[/inlmath] one će biti neprekidne na zatvorenom intervalu [inlmath][c,\:c+h][/inlmath] i diferencijabilne na [inlmath](c,\:c+h)[/inlmath].“

Na prethodno citiranu Cauchy-jevu teoremu samo uvedi sledeću zamenu oznaka,
[dispmath]\begin{array}{lll}
a & \to & c\\
b & \to & c+h\\
c & \to & \xi
\end{array}[/dispmath]
i sve će biti jasno – dobićeš upravo to što su oni radili.