MATEMANIJA

Izračunati:
[dispmath]\lim_{n\to\infty}\left(\frac{3n+4}{3n-1}\right)^{4n+1}[/dispmath]
Stigao sam do koraka:
[dispmath]e^{\lim\limits_{n\to\infty}\left({\frac{5}{3n-1}}\cdot(4n+1)\right)}[/dispmath]
Rezultat se dobije da je [inlmath]e^{\frac{20}{3}}[/inlmath] i znam postupak kojim se dobija to rešenje.
Ali kako da dobijem takav rezultat ako radim ovako:
[dispmath]\lim_{n\to\infty}\left(\frac{5}{3n-1}\right)=0[/dispmath]
Pa kada [inlmath]0[/inlmath] pomnožimo sa bilo čime dobijamo [inlmath]0[/inlmath]. Po tome je [inlmath]e^0=1[/inlmath] što nije tačno. Gde grešim?

brojilac napises kao [inlmath]3n-1+5[/inlmath] onda rastavis taj razlomak i dobices nesta sto ce liciti na osnovni limes [inlmath]\left(1+\frac{1}{n}\right)^n[/inlmath] posle uvodjenjem smjena mozes dobiti taj oblik osnovnog limesa...

meni uopste nije jasan ovaj tvoj postupak koji si naveo (mi tako nismo ucili u skoli)

Sinisa je napisao:brojilac napises kao [inlmath]3n-1+5[/inlmath] onda rastavis taj razlomak i dobices nesta sto ce liciti na osnovni limes [inlmath]\left(1+\frac{1}{n}\right)^n[/inlmath] posle uvodjenjem smjena mozes dobiti taj oblik osnovnog limesa...

Da, tako sam i uradio.

Znamo da je [inlmath]\lim\limits_{n\to\infty}(a\cdot b)=\lim\limits_{n\to\infty}(a)\cdot\lim\limits_{n\to\infty}(b)[/inlmath] gde naravno [inlmath]a,b[/inlmath] sadrže promenljivu [inlmath]n[/inlmath]. Tako sam mislio i da ovde, gde imamo u eksponentu limes, nešto tako odradimo.

ali kako si stigao do toga da u eksponentu imas limes?

Tako smo u školi radili,ni meni taj detalj nije baš najjasniji.

Limes može preći u eksponent.I [inlmath]e^\frac{20}{3}[/inlmath] je ispravno rješenje.I kod ovoga zadnjeg limesa gdje ti je [inlmath]4n+1[/inlmath]? Treba da u brojniku bude [inlmath]20n+5[/inlmath]. Kada ga riješiš dobićeš [inlmath]\frac{20}{3}[/inlmath]

Sinisa je napisao:ali kako si stigao do toga da u eksponentu imas limes?

Pretpostavljam ovako:
[dispmath]\lim_{n\to\infty}\left(\frac{3n+4}{3n-1}\right)^{4n+1}=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{5}{3n-1}\right)^{4n+1}=\lim_{n\to\infty}\left[\left(1+\frac{1}{\frac{3n-1}{5}}\right)^{\frac{3n-1}{5}}\right]^{\frac{5}{3n-1}\cdot\left(4n+1\right)}=\\
=\lim_{n\to\infty}e^{\frac{5}{3n-1}\cdot\left(4n+1\right)}=e^{\lim\limits_{n\to\infty}\frac{5}{3n-1}\cdot\left(4n+1\right)}=\cdots[/dispmath]
što je, uostalom, postupak koji si i ti sâm opisao na početku ove teme...

Ali, meni nikako nije jasan ovaj deo,

Miladin Jovic je napisao:Ali kako da dobijem takav rezultat ako radim ovako:
[dispmath]\lim_{n\to\infty}\left(\frac{5}{3n-1}\right)=0[/dispmath]

Možeš li napisati kako si došao dotle?

Dobio sam iz
[dispmath]\lim_{n\to\infty}\left(\frac{5}{3n-1}\cdot{4n+1}\right)=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{5}{3n-1}\right)\cdot\lim_{n\to\infty}(4n+1)[/dispmath]

ali to sto si upravo napisao uopste nije limes, to je eksponent

ustvari rjesenje je [inlmath]e[/inlmath] na taj eksponent (kada sve podijelis sa [inlmath]n[/inlmath] dobices rjesenje : [inlmath]\frac{20}{3}[/inlmath], a ono se i trazi), ti limesi su nezamislivi na tom mjestu

nije mi jasno kako dolazis do takvih zakljucaka, to je skroz pogresno

Miladin Jovic je napisao:Dobio sam iz
[dispmath]\lim_{n\to\infty}\left(\frac{5}{3n-1}\cdot{4n+1}\right)=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{5}{3n-1}\right)\cdot\lim_{n\to\infty}(4n+1)[/dispmath]

I tu onda imaš množenje nule beskonačnom veličinom, a rezultat toga nije nula, već neodređena vrednost (tj. može biti bilo koji broj).

Nulu dobiješ onda kada nulu množiš konačnom vrednošću, a ovde to nije slučaj.

Formula [inlmath]\lim\limits_{n\to\infty}f\left(n\right)g\left(n\right)=\lim\limits_{n\to\infty}f\left(n\right)\cdot\lim\limits_{n\to\infty}g\left(n\right)[/inlmath] važi samo onda kada i [inlmath]\lim\limits_{n\to\infty}f\left(n\right)[/inlmath] i [inlmath]\lim\limits_{n\to\infty}g\left(n\right)[/inlmath] postoje, tj. kada su konačni.