MATEMANIJA

Izračunati limes:
[dispmath]\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin(\sin x)-x\left(1-x^2\right)^\frac{1}{3}}{x^5}[/dispmath]
Iz Maklorenovog reda za [inlmath]\sin x[/inlmath]:
[dispmath]\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+o\left(x^6\right)[/dispmath]
uvrštavanjem u [inlmath]\sin(\sin x)[/inlmath]:
[dispmath]\sin(\sin x)=\sin x-\frac{(\sin x)^3}{3!}+\frac{(\sin x)^5}{5!}+o\left((\sin x)^6\right)=\\
=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+o\left(x^6\right)-\frac{\left(x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}\right)^3}{3!}+\frac{\left(x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}\right)^5}{5!}+\cdots[/dispmath]
Nakon sređivanja izraza, dobije se:
[dispmath]x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{10}+o\left(x^6\right)[/dispmath]
Ovaj poslednji izraz mi nije jasan.

Dalje, korišćen je razvoj i u izrazu [inlmath]\left(1-x^2\right)^\frac{1}{3}[/inlmath] koji mi je takođe nejasan:
[dispmath]\left(1-x^2\right)^\frac{1}{3}=1-\frac{x^2}{3}-\frac{x^4}{9}+o\left(x^4\right)[/dispmath]
Nakon uvrštavanja ovih razvoja u limes, dobija se [inlmath]\frac{19}{90}[/inlmath].

Hvala.

display_error je napisao:Izračunati limes:
[dispmath]lim_{x->0}\frac{sin(sinx)-x(1-x^2)^\frac{1}{3}}{x^5}[/dispmath]

Ovo nije dobro napisano.
Molim te da prvo napišeš kako treba, jer je ovo postavka zadatka. Pozdrav.

Korigovao sam Latex-formule. Umesto lim i sin treba \lim i \sin (s backslashom, kako bi slova bila ispisana uspravno), umesto -> treba \to (strelica nadesno), a između \lim i {x\to0} potrebno je staviti i \limits kako bi [inlmath]x\to0[/inlmath] bilo ispisano tačno ispod [inlmath]\lim[/inlmath]. Ali, sve pohvale što se trudiš da savladaš Latex, i pohvale i za sam način na koji si postavio pitanje.

display_error je napisao:Nakon sređivanja izraza, dobije se:
[dispmath]x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{10}+o\left(x^6\right)[/dispmath]
Ovaj poslednji izraz mi nije jasan.

Znači, imali smo izraz
[dispmath]x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+o\left(x^6\right)-\frac{\left(x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}\right)^3}{3!}+\frac{\left(x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}\right)^5}{5!}+\cdots[/dispmath]
Razvijemo one trinome na treći i na peti stepen:
[dispmath]\left(x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}\right)^3=x^3-3x^2\left(\frac{x^3}{3!}-\frac{x^5}{5!}\right)+\underbrace{3x\left(\frac{x^3}{3!}-\frac{x^5}{5!}\right)^2-\left(\frac{x^3}{3!}-\frac{x^5}{5!}\right)^3}_{o\left(x^6\right)}=\\
=x^3-3\cdot\frac{x^5}{3!}+\underbrace{3\cdot\frac{x^7}{5!}}_{o\left(x^6\right)}+o\left(x^6\right)=x^3-\frac{x^5}{2}+o\left(x^6\right)[/dispmath]

[dispmath]\left(x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}\right)^5=\sum_{k=0}^5{5\choose k}x^{5-k}\left(-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}\right)^k=\\
=x^5+\underbrace{{5\choose1}x^4\left(-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}\right)+{5\choose2}x^3\left(-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}\right)^2}_{o\left(x^6\right)}+\\
+\underbrace{{5\choose3}x^2\left(-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}\right)^3+{5\choose4}x\left(-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}\right)^4+\left(-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}\right)^5}_{o\left(x^6\right)}=\\
=x^5+o\left(x^6\right)[/dispmath]
I, onda i jedno i drugo uvrstimo u početni izraz:
[dispmath]x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+o\left(x^6\right)-\frac{x^3-\frac{x^5}{2}+o\left(x^6\right)}{3!}+\frac{x^5+o\left(x^6\right)}{5!}+\cdots=\\
=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^3}{3!}+\frac{\frac{x^5}{2}}{3!}+\frac{x^5}{5!}+o\left(x^6\right)=\\
=x-2\cdot\frac{x^3}{3!}+\left(\frac{1}{5!}+\frac{1}{2\cdot3!}+\frac{1}{5!}\right)x^5+o\left(x^6\right)=\\
=x-\frac{x^3}{3}+\frac{1}{3!}\left(\frac{1}{5\cdot4}+\frac{1}{2}+\frac{1}{5\cdot4}\right)x^5+o\left(x^6\right)=\\
=x-\frac{x^3}{3}+\frac{1}{\cancel3\cdot2}\cdot\frac{\cancel3}{5}x^5+o\left(x^6\right)=\\
=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{10}+o\left(x^6\right)[/dispmath]
što je izraz koji je i trebalo dobiti.

display_error je napisao:Dalje, korišćen je razvoj i u izrazu [inlmath]\left(1-x^2\right)^\frac{1}{3}[/inlmath] koji mi je takođe nejasan:
[dispmath]\left(1-x^2\right)^\frac{1}{3}=1-\frac{x^2}{3}-\frac{x^4}{9}+o\left(x^4\right)[/dispmath]

Razvoj funkcije [inlmath]\left(1-x\right)^\alpha[/inlmath] u Maklorenov red glasi
[dispmath]\left(1-x\right)^\alpha=\sum_{n=0}^\infty\left(-1\right)^n{\alpha\choose n}x^n=1-\alpha x+{\alpha\choose2}x^2-{\alpha\choose3}x^3+\cdots[/dispmath]
Zamenom [inlmath]x[/inlmath] sa [inlmath]x^2[/inlmath] prethodna jednakost postaje
[dispmath]\left(1-x^2\right)^\alpha=\sum_{n=0}^\infty\left(-1\right)^n{\alpha\choose n}x^{2n}=1-\alpha x^2+{\alpha\choose2}x^4-{\alpha\choose3}x^6+\cdots[/dispmath]
a u našem slučaju je [inlmath]\alpha=\frac{1}{3}[/inlmath]:
[dispmath]\left(1-x^2\right)^{\frac{1}{3}}=\sum_{n=0}^\infty\left(-1\right)^n{\frac{1}{3}\choose n}x^{2n}=1-\frac{1}{3}x^2+{\frac{1}{3}\choose2}x^4-{\frac{1}{3}\choose3}x^6+\cdots=\\
=1-\frac{1}{3}x^2+\frac{\frac{1}{3}\cdot\left(-\frac{2}{3}\right)}{2}x^4+o\left(x^4\right)=1-\frac{x^2}{3}-\frac{x^4}{9}+o\left(x^4\right)[/dispmath]
Ovde nije bilo potrebe ići u razvoj do [inlmath]6.[/inlmath] stepena, budući da se u početnom izrazu, čiji limes tražimo, ovaj izraz, [inlmath]\left(1-x^2\right)^{\frac{1}{3}}[/inlmath], množi sa [inlmath]x[/inlmath].