MATEMANIJA

Pozdrav...

Potrebna mi je pomoć oko sledećeg zadatka:
[dispmath]\lim_{x\to\infty}\Big(\big((x+a_1)(x+a_2)\cdots(x+a_n)\big)^{\frac{1}{n}}-x\Big)[/dispmath]
Racionalizacija:
[dispmath]\Big(\big((x+a_1)(x+a_2)\cdots(x+a_n)\big)^\frac{1}{n}-x\Big)\frac{\big((x+a_1)(x+a_2)\cdots(x+a_n)\big)^\frac{n-1}{n}+\cdots+x^{n-1}}{\big((x+a_1)(x+a_2)\cdots(x+a_n)\big)^\frac{n-1}{n}+\cdots+x^{n-1}}[/dispmath]
Kako izvršiti množenje u brojniku?

U brojniku treba da se dobije:
[dispmath]x^n+(a_1+a_2+\cdots+a_n)x^{n-1}+\cdots+a_1a_2\cdots a_n-x^n[/dispmath]
Nakon deljenja brojnika i nazivnika sa [inlmath]x^{n-1}[/inlmath]:
[dispmath]\frac{(a_1+a_2+\cdots+a_n)+\cdots+\frac{a_1a_2\cdots a_n}{x^{n-1}}}{\Big(\left(1+\frac{a_1}{x}\right)\left(x+\frac{a_2}{x}\right)\cdots\left(x+\frac{a_n}{x}\right)\Big)^\frac{n-1}{n}+\cdots+1}[/dispmath]
Kako je nakon deljenja sa [inlmath]x^{n-1}[/inlmath] dobijen izraz u imeniocu?
Da li je mogla da se izvrši drugačija racionalizacija?

Konačno rešenje je:
[dispmath]\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}[/dispmath]

display_error je napisao:[dispmath]\Big(\big((x+a_1)(x+a_2)\cdots(x+a_n)\big)^\frac{1}{n}-x\Big)\frac{\big((x+a_1)(x+a_2)\cdots(x+a_n)\big)^\frac{n-1}{n}+\cdots+x^{n-1}}{\big((x+a_1)(x+a_2)\cdots(x+a_n)\big)^\frac{n-1}{n}+\cdots+x^{n-1}}[/dispmath]
Kako izvršiti množenje u brojniku?

U brojniku treba da se dobije:
[dispmath]x^n+(a_1+a_2+\cdots+a_n)x^{n-1}+\cdots+a_1a_2\cdots a_n-x^n[/dispmath]

Primenjena je formula
[dispmath]\left(a-b\right)\left(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+\cdots +a^2b^{n-3}+ab^{n-2}+b^{n-1}\right)=a^n-b^n[/dispmath]
(tu formulu imaš u temi o algebarskim identitetima – razlika [inlmath]n[/inlmath]-tih stepena)
U tvom slučaju je [inlmath]a=\big((x+a_1)(x+a_2)\cdots(x+a_n)\big)^{\frac{1}{n}}[/inlmath] i [inlmath]b=x[/inlmath].

display_error je napisao:Nakon deljenja brojnika i nazivnika sa [inlmath]x^{n-1}[/inlmath]:
[dispmath]\frac{(a_1+a_2+\cdots+a_n)+\cdots+\frac{a_1a_2\cdots a_n}{x^{n-1}}}{\Big(\left(1+\frac{a_1}{x}\right)\left({\color{red}x}+\frac{a_2}{x}\right)\cdots\left({\color{red}x}+\frac{a_n}{x}\right)\Big)^\frac{n-1}{n}+\cdots+1}[/dispmath]
Kako je nakon deljenja sa [inlmath]x^{n-1}[/inlmath] dobijen izraz u imeniocu?

Izraz u imeniocu je pogrešan, umesto [inlmath]x[/inlmath]-eva (obeležio sam ih crveno) treba da stoje jedinice.

Pre deljenja sa [inlmath]x^{n-1}[/inlmath] u imeniocu si imao izraz
[dispmath]\big((x+a_1)(x+a_2)\cdots(x+a_n)\big)^{\frac{n-1}{n}}+\cdots+x^{n-1}[/dispmath]
i, nakon deljenja sa [inlmath]x^{n-1}[/inlmath],
[dispmath]\frac{\big((x+a_1)(x+a_2)\cdots(x+a_n)\big)^{\frac{n-1}{n}}+\cdots+x^{n-1}}{x^{n-1}}=\\
=\frac{\big((x+a_1)(x+a_2)\cdots(x+a_n)\big)^{\frac{n-1}{n}}}{x^{n-1}}+\cdots+\frac{x^{n-1}}{x^{n-1}}=\\
=\frac{\big((x+a_1)(x+a_2)\cdots(x+a_n)\big)^{\frac{n-1}{n}}}{\left(x^n\right)^{\frac{n-1}{n}}}+\cdots+1=\\
=\left[\frac{(x+a_1)(x+a_2)\cdots(x+a_n)}{x^n}\right]^{\frac{n-1}{n}}+\cdots+1=\\
=\left[\frac{(x+a_1)(x+a_2)\cdots(x+a_n)}{x\cdot x\cdots x}\right]^{\frac{n-1}{n}}+\cdots+1=\\
=\left(\frac{x+a_1}{x}\cdot\frac{x+a_2}{x}\cdots\frac{x+a_n}{x}\right)^{\frac{n-1}{n}}+\cdots+1=\\
=\left[\left(1+\frac{a_1}{x}\right)\left(1+\frac{a_2}{x}\right)\cdots\left(1+\frac{a_n}{x}\right)\right]^{\frac{n-1}{n}}+\cdots+1[/dispmath]

display_error je napisao:Da li je mogla da se izvrši drugačija racionalizacija?

Nemam ideju, ja bih isto radio na ovaj način.