MATEMANIJA

Kako odrediti sledeći limes:
[dispmath]\lim_{x\to1}\frac{\left(1-x^{\frac{1}{2}}\right)\left(1-x^{\frac{1}{3}}\right)\cdots\left(1-x^{\frac{1}{n}}\right)}{(1-x)^{n-1}}[/dispmath]
Iskoristio sam smenu [inlmath]t=1-x,\;x=1-t,\;t\to0[/inlmath] pa limes postaje:
[dispmath]\lim_{t\to0}\frac{\left(1-(1-t)^{\frac{1}{2}}\right)\left(1-(1-t)^{\frac{1}{3}}\right)\cdots\left(1-(1-t)^{\frac{1}{n}}\right)}{t^{n-1}}[/dispmath]
Treba da se dovede na oblik:
[dispmath]\lim_{t\to0}\frac{t^{n-1}}{n!\:t^{n-1}}[/dispmath]
Hvala.

@display_error,
molim te da navedeš i rezultat limesa (granične vrednosti):
[dispmath]\lim_{t\to0}\frac{t^{n-1}}{n!\:t^{n-1}}=?[/dispmath]
Pa da vidimo i te međukorake.

Mislim da si zbunio čoveka ovim pitanjem (na koje je odgovor više nego očigledan), čim se još uvek ne javlja...

Što se zadatka tiče – može, nakon uvođenja smene, svaki od ovih faktora [inlmath]\left(1-\left(1-t\right)^{\frac{1}{2}}\right),\;\left(1-\left(1-t\right)^{\frac{1}{3}}\right),\;\ldots,\;\left(1-\left(1-t\right)^{\frac{1}{n}}\right)[/inlmath] da se razvije u Maklorenov red, nakon čega je dalji postupak prilično očigledan...

A može i bez uvođenja smene, tako što se na svaki od faktora u početnom izrazu primeni formula za razliku [inlmath]n[/inlmath]-tih stepena, koju si već imao u prethodnim zadacima, dakle,
[dispmath]a-b=\frac{a^n-b^n}{a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+\cdots+a^2b^{n-3}+ab^{n-2}+b^{n-1}}[/dispmath]
gde je [inlmath]a=1[/inlmath] i [inlmath]b=x^{\frac{1}{k}}[/inlmath], pri čemu se [inlmath]k[/inlmath] menja od [inlmath]2[/inlmath] do [inlmath]n[/inlmath] kako ideš od faktora do faktora...