MATEMANIJA

Potrebna mi je pomoć oko sledećeg zadatka:

Odrediti graničnu vrednost niza
[dispmath]x_1=a>0,[/dispmath][dispmath]x_{n+1}=\frac{x_1+2x_2+\cdots+nx_n}{n}[/dispmath]
Kako odrediti sumu?
Izračunao sam [inlmath]x_n[/inlmath] u funkciji od [inlmath]x_{n+1}[/inlmath]:
[dispmath]nx_{n+1}-(n-1)x_n=(x_1+\cdots+nx_n)-\big(x_1+\cdots+(n-1)x_{n-1}\big)=nx_n[/dispmath]
Odavde je
[dispmath]x_n=\frac{nx_{n+1}}{2n-1}[/dispmath]
Uvrštavanjem ovog izraza u limes stalno se "vrti" u krug:
[dispmath]\lim_{n\to\infty}x_n=\lim_{n\to\infty}\frac{nx_{n+1}}{2n-1}=\lim_{n\to\infty}\frac{x_1+\cdots+nx_n}{2n-1}[/dispmath]
Deljenjem sa [inlmath]n[/inlmath] dobija se
[dispmath]\lim_{n\to\infty}\frac{x_n}{2}[/dispmath]
i tako u krug.

Da li se [inlmath]x_n[/inlmath] moze izraziti samo u funkciji od [inlmath]n[/inlmath] (bez [inlmath]x_{n+1}[/inlmath])?

Hvala.

Ili formirati dvočlanu rekurziju, samo kako?

Je li rešenje [inlmath]L=\frac{1}{2}[/inlmath]?

Drugo potencijalno rešenje je [inlmath]L=0[/inlmath]

Težak zadatak
Bar po mom mišljenju.
Ovako kako si naveo postupak, stvarno se vrtiš u krug.
Rešenje mora zavisiti od [inlmath]a[/inlmath], jer je u postavci zadatka sasvim namerno navedeno da je [inlmath]x_1=a[/inlmath].
To je malo "na silu" postavljeno za moj ukus, ali hajde...
Dobio sam isto što i ti, na malo drugačiji način, koristeći i neke elemente matematičke statistike:
[dispmath]x_{n+1}=\left(2-\frac{1}{n}\right)x_n[/dispmath]
I dalje mi je (ali ne baš odmah):
[dispmath]x_n=\left(2-\frac{1}{n}\right)a[/dispmath]
I sada dobijam:
[dispmath]\lim_{n\to\infty}x_n=2a[/dispmath]
Nisam 100% siguran da sam ovo dobro uradio. Zato te molim da navedeš i rezultat ako ga imaš, kao i izvor.
Pozdrav, hvala na ovom zadatku, jeste težak, ali mi se mnogo svideo.

@Desideri

Nemam rešenje...

@display_error,
ma sve ok, naći ćemo mi to rešenje
Ja ću koliko sutra izložiti i svoj postupak, odnosno način razmišljanja.
Ali me zanima izvor, knjiga, zbirka?
Ili ga je samo profesor postavio, pa ko reši?
Ne zameri na znatiželjnosti, stvarno nikad nisam video ovakav zadatak.

@Desideri

Ispitni zadatak na ETF-u.

@Daniel je našao grešku u mom rezultatu. Rekoh ja da nisam 100% siguran .
Korigovaću, pa ću postovati. Zajedno sa postupkom.

display_error je napisao:[dispmath]\lim_{n\to\infty}x_n=\lim_{n\to\infty}\frac{nx_{n+1}}{2n-1}=\lim_{n\to\infty}\frac{x_1+\cdots+nx_n}{2n-1}[/dispmath]
Deljenjem sa [inlmath]n[/inlmath] dobija se
[dispmath]\lim_{n\to\infty}\frac{x_n}{2}[/dispmath]

Ne dobija se. Vodi računa o tome kako izgleda izraz u brojiocu:
[dispmath]\lim_{n\to\infty}\frac{x_1+2x_2+3x_3+\cdots+\left(n-2\right)x_{n-2}+\left(n-1\right)x_{n-1}+nx_n}{2n-1}[/dispmath]
tj. [inlmath]n[/inlmath] ne figuriše samo u poslednjem sabirku, [inlmath]nx_n[/inlmath], već figuriše i u prethodnim sabircima, [inlmath]\left(n-1\right)x_{n-1}[/inlmath], [inlmath]\left(n-2\right)x_{n-2}[/inlmath] itd.

display_error je napisao:Ili formirati dvočlanu rekurziju, samo kako?

Pa, do nje si upravo i došao:

display_error je napisao:Odavde je
[dispmath]x_n=\frac{nx_{n+1}}{2n-1}[/dispmath]

sada odatle samo izraziš [inlmath]x_{n+1}[/inlmath] preko [inlmath]x_n[/inlmath] i dobiješ
[dispmath]x_{n+1}=\frac{2n-1}{n}x_n[/dispmath]
to jest
[dispmath]x_n=\frac{2n-3}{n-1}x_{n-1}[/dispmath]

display_error je napisao:Da li se [inlmath]x_n[/inlmath] moze izraziti samo u funkciji od [inlmath]n[/inlmath] (bez [inlmath]x_{n+1}[/inlmath])?

Može. U prethodnom izrazu [inlmath]x_n=\frac{2n-3}{n-1}x_{n-1}[/inlmath] na isti način izrazimo [inlmath]x_{n-1}[/inlmath] preko [inlmath]x_{n-2}[/inlmath], zatim [inlmath]x_{n-2}[/inlmath] preko [inlmath]x_{n-3}[/inlmath] i tako sve do [inlmath]x_2[/inlmath] i [inlmath]x_1[/inlmath], čime dolazimo do izraza za [inlmath]x_n[/inlmath] u kojem ne figuriše nijedan od preostalih članova niza, već samo [inlmath]n[/inlmath]. Bi li pokušao to da uradiš?

@Daniel

Hvala na ispravkama, upotrebio sam vašu ideju da se preko indukcije izrazi [inlmath]x_n[/inlmath] preko [inlmath]n[/inlmath]. Dobio sam [dispmath]x_n=\left(\frac{2n-3}{n-1}\right)^{n-1}[/dispmath].
Odavde sledi da granična vrednost ne postoji ili je beskonačna

Je li ovo ispravno?

@Daniel

Ali zar ne bi trebao da figuriše i parametar [inlmath]a[/inlmath]?

@Daniel

Dodao bih
[dispmath]x_n=\left(\frac{2n-3}{n-1}a\right)^{n-1}[/dispmath]

Trebalo bi da je ovako (konsultovao sam se i s Danielom):
[dispmath]x_n=a\cdot\frac{(2n-3)!!}{(n-1)!}[/dispmath]
Nakon svođenja na jednostruke faktorijele dobio sam:
[dispmath]x_n=a\cdot\frac{n}{2n-1}\cdot\frac{\left(2n\right)!}{2^n\left[\left(n\right)!\right]^2}[/dispmath]
Primenio sam i Stirlingovu formulu (uz graničnu vrednost kada [inlmath]n[/inlmath] teži beskonačnosti).
Fali mi "dole" jedno [inlmath]2^n[/inlmath], a ovako svakako imam divergenciju.
Ako bi dole bilo još jedno [inlmath]2^n[/inlmath] lako bi se našla konačna granična vrednost.
No, možda je zadatak i prostiji nego što mi se učinio, tj. da samo treba konstatovati divergenciju.

@display_error,
Molim te, bez persiranja.
Ako hoćeš, možeš napisati postupak kojim si došao do (netačnog) izraza [inlmath]x_n=\left(\frac{2n-3}{n-1}a\right)^{n-1}[/inlmath], kako bismo ti ukazali na grešku.

Treba da se dobije, kao što Desideri napisa, [inlmath]x_n=a\cdot\frac{(2n-3)!!}{(n-1)!}[/inlmath], iliti,
[dispmath]x_n=\frac{2n-3}{n-1}\cdot\frac{2n-5}{n-2}\cdot\frac{2n-7}{n-3}\cdots\frac{7}{4}\cdot\frac{5}{3}\cdot\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{1}a[/dispmath]
Divergencija ovog niza može se zaključiti i bez Stirlingove formule, a na osnovu [inlmath]x_{n+1}=\frac{2n-1}{n}x_n[/inlmath], što je izraz do kojeg si i sâm došao. Iz tog izraza vidimo da se vrednost narednog člana niza dobije tako što se prethodni član niza pomnoži sa [inlmath]\frac{2n-1}{n}[/inlmath], koje se sve više približava dvojci kako [inlmath]n[/inlmath] raste. Odatle je očigledno da niz divergira.