MATEMANIJA

Jedno zanimljivo zadače s limesom koje mi je poslato putem privatne poruke uz molbu da ga uradim:
[dispmath]\lim_{x\to-\infty}\frac{\sqrt{x^2+a^2}+x}{\sqrt{x^2+b^2}+x}[/dispmath]

Rešenje:

Primenjujući formulu za razliku kvadrata, brojilac i imenilac možemo napisati u sledećem obliku:
[dispmath]\sqrt{x^2+a^2}+x=\frac{\left(x^2+a^2\right)-x^2}{\sqrt{x^2+a^2}-x}=\frac{a^2}{\sqrt{x^2+a^2}-x}[/dispmath][dispmath]\sqrt{x^2+b^2}+x=\frac{\left(x^2+b^2\right)-x^2}{\sqrt{x^2+b^2}-x}=\frac{b^2}{\sqrt{x^2+b^2}-x}[/dispmath]
Tako da limes koji tražimo možemo napisati u obliku:
[dispmath]\lim_{x\to-\infty}\frac{\frac{a^2}{\sqrt{x^2+a^2}-x}}{\frac{b^2}{\sqrt{x^2+b^2}-x}}=[/dispmath][dispmath]=\frac{a^2}{b^2}\lim_{x\to-\infty}\frac{\sqrt{x^2+b^2}-x}{\sqrt{x^2+a^2}-x}=[/dispmath][dispmath]=\frac{a^2}{b^2}\lim_{x\to-\infty}\frac{\sqrt{x^2}\sqrt{1+\left(\frac{b}{x}\right)^2}-x}{\sqrt{x^2}\sqrt{1+\left(\frac{a}{x}\right)^2}-x}=[/dispmath]
S obzirom na to da je kvadratni koren po definiciji uvek nenegativan broj, tj. da je
[dispmath]\sqrt{x^2}=\left|x\right|=\begin{cases}
x & \quad x\ge 0\\
-x & \quad x<0\\
\end{cases}[/dispmath]
pošto ovde [inlmath]x[/inlmath] teži negativnoj beskonačnosti, tj. [inlmath]x<0[/inlmath], [inlmath]\sqrt{x^2}[/inlmath] ćemo zameniti sa [inlmath]-x[/inlmath]:
[dispmath]=\frac{a^2}{b^2}\lim_{x\to-\infty}\frac{-x\sqrt{1+\left(\frac{b}{x}\right)^2}-x}{-x\sqrt{1+\left(\frac{a}{x}\right)^2}-x}[/dispmath]
Posle deljenja i brojioca i imenioca sa [inlmath]x[/inlmath], to je dalje jednako
[dispmath]=\frac{a^2}{b^2}\lim_{x\to-\infty}\frac{-\sqrt{1+\left(\frac{b}{x}\right)^2}-1}{-\sqrt{1+\left(\frac{a}{x}\right)^2}-1}=[/dispmath][dispmath]=\frac{a^2}{b^2}\cdot\frac{-1-1}{-1-1}=\frac{a^2}{b^2}[/dispmath]