MATEMANIJA

Tražim graničnu vrednost funkcije [inlmath]f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}[/inlmath], i to kada [inlmath]x\to-\infty[/inlmath] i [inlmath]x\to+\infty[/inlmath]. Našao sam limes za [inlmath]x\to+\infty[/inlmath] i jednak je [inlmath]1[/inlmath], ali imam problem sa drugim slučajem. Dakle, u rešenju po kome se proveravam, pravi se smena [inlmath]t=-x[/inlmath], kako bi se računao [inlmath]\lim\limits_{t\to+\infty}\frac{-t}{\sqrt{(-t)^2-1}}[/inlmath]. Dobije se da je rezultat [inlmath]-1[/inlmath], što je i očigledno (mada sam ja prvo krenuo bez smene pa dobio [inlmath]1[/inlmath]), ali me interesuje zašto se mora prebacivati u limes u kome [inlmath]t\to+\infty[/inlmath]? Zašto novi limes mora da ima argument koji teži ka [inlmath]+\infty[/inlmath]?

U stvari, možda je bolje da pitam zašto se mora [inlmath]\lim\limits_{x\to-\infty}\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}[/inlmath] prebaciti u limes u kome argument teži ka [inlmath]+\infty[/inlmath]? Može li se [inlmath]-1[/inlmath] dobiti na neki drugi način?

Moze i bez smene, tj. direktno. Verovatno si u tom slucaju dobio rezultat [inlmath]1[/inlmath] jer si smatrao [inlmath]\sqrt{x^2}=|x|=x[/inlmath], sto nije tacno, jer [inlmath]x\to-\infty[/inlmath] pa je [inlmath]\sqrt{x^2}=|x|=-x[/inlmath]. Ali to je sve nagadjenje, dok ne vidimo konkretno sta si radio.

Hvala! Shvatio sam u čemu je problem.

Kada sam računao [inlmath]\lim\limits_{x\to-\infty}\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}[/inlmath], stavljao sam sve pod kvadratni koren, ali nisam primetio da se u tom slučaju menja znak izraza čiji limes tražim (iz negativnog u pozitivni; jer je [inlmath]x<0[/inlmath], zato što [inlmath]x\to-\infty[/inlmath]), pa zbog toga to ni ne može da se koristi u traženju ovog limesa. A kada [inlmath]x\to+\infty[/inlmath], onda može, jer se ne menja znak datog izraza; opet je pozitivan. Eto, mislim da sam tu napravio grešku. I da zapamtim da je [inlmath]\sqrt{x^2}=|x|[/inlmath], osim ako [inlmath]x[/inlmath] nije eksplicitno naveden!

Gogele je napisao:ali nisam primetio da se u tom slučaju menja znak izraza čiji limes tražim (iz negativnog u pozitivni; jer je [inlmath]x<0[/inlmath], zato što [inlmath]x\to-\infty[/inlmath]), pa zbog toga to ni ne može da se koristi u traženju ovog limesa.

A što ne bi moglo? Može, evo ovako:
[dispmath]\lim_{x\to-\infty}\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}=\lim_{x\to-\infty}\frac{-\left|x\right|}{\sqrt{x^2-1}}=-\lim_{x\to-\infty}\frac{\sqrt{x^2}}{\sqrt{x^2-1}}=-\lim_{x\to-\infty}\sqrt{\frac{x^2}{x^2-1}}=\cdots=-1[/dispmath]

Gogele je napisao:I da zapamtim da je [inlmath]\sqrt{x^2}=|x|[/inlmath], osim ako [inlmath]x[/inlmath] nije eksplicitno naveden!

[inlmath]\sqrt{x^2}[/inlmath] je uvek jednako [inlmath]\left|x\right|[/inlmath]. A ako je [inlmath]x[/inlmath] eksplicitno navedeno, onda se možemo osloboditi apsolutne vrednosti (i dopisati minus ako je [inlmath]x<0[/inlmath], odnosno ostaviti plus ako je [inlmath]x\ge0[/inlmath]).

---

A možeš odjednom računati i oba limesa, [inlmath]x\to+\infty[/inlmath] i [inlmath]x\to-\infty[/inlmath], upotrebom signum funkcije,
[dispmath]\text{sgn }x=\begin{cases}
1, & x>0\\
0, & x=0\\
-1, & x<0
\end{cases}[/dispmath]
koja se, za [inlmath]x\ne0[/inlmath] (što kod nas i jeste slučaj, jer ispitujemo samo [inlmath]x\to+\infty[/inlmath] i [inlmath]x\to-\infty[/inlmath], znači, [inlmath]x[/inlmath] ne može biti nula), može napisati u obliku [inlmath]\text{sgn }x=\frac{x}{\left|x\right|}[/inlmath], odakle je [inlmath]x=\left|x\right|\text{sgn }x[/inlmath]:
[dispmath]\lim_{x\to\pm\infty}\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}=\lim_{x\to\pm\infty}\text{sgn }x\frac{\left|x\right|}{\sqrt{x^2-1}}=\lim_{x\to\pm\infty}\text{sgn }x\frac{\sqrt{x^2}}{\sqrt{x^2-1}}=\\
=\lim_{x\to\pm\infty}\text{sgn }x\sqrt{\frac{x^2}{x^2-1}}=\cdots=\lim_{x\to\pm\infty}\text{sgn }x[/dispmath]
i tek na samom kraju to razdvojimo na slučajeve [inlmath]\lim\limits_{x\to+\infty}[/inlmath] i [inlmath]\lim\limits_{x\to-\infty}[/inlmath], pri čemu je jasno da se za prvi dobija [inlmath]1[/inlmath], a za drugi [inlmath]-1[/inlmath].

U vezi s rešavanjem pomoću signum funkcije možeš, ako te zanima, pogledati i ovaj post (i nekoliko narednih).