MATEMANIJA

Pozdrav svima!
Potrebna mi je pomoć kod sljedećeg limesa fje:

Naći vertikalnu asimptotu fje [inlmath]\frac{1-\ln x}{1+\ln x}[/inlmath] ako je kandidat za vertikalnu asimptotu tačka [inlmath]\frac{1}{e}[/inlmath] ?

Kada radim desnu asimptotu za [inlmath]\frac{1}{e}+0[/inlmath] dobijem da je [inlmath]\ln\left(\frac{1}{e}+0\right)[/inlmath] i to je jednako minus beskonačno,te ne znam šta dalje...

Izraz [inlmath]1-\infty[/inlmath] mi nikako nije jasan,da li je definisan ili šta?

Jeste kandidat tačka [inlmath]\frac{1}{e}[/inlmath].
Zbog toga što ne bi bio imenilac definisan u domenu elementarnih funkcija.
Malo levo od [inlmath]\frac{1}{e}[/inlmath] funkcija "ide" u minus beskonačnost, a malo desno od [inlmath]\frac{1}{e}[/inlmath] funkcija "ide" u plus beskonačnost.
Izraz [inlmath]1-\infty[/inlmath] zapravo tako i ne bi trebalo da se piše, to je naravno [inlmath]-\infty[/inlmath] mada i ovo popularno pišem, sve su to ipak granične vrednosti.

Evo malo detaljnije. Prvo,

Shady je napisao:Naći vertikalnu asimptotu fje [inlmath]\frac{1-\ln x}{1+\ln x}[/inlmath] ako je kandidat za vertikalnu asimptotu tačka [inlmath]\frac{1}{e}[/inlmath] ?

drugi deo rečenice je apsolutno suvišan, budući da se iz samog izraza za funkciju odmah može videti da [inlmath]\frac{1}{e}[/inlmath] jeste kandidat za vertikalnu asimptotu. Kandidati za vertikalne asimptote su one usamljene tačke u kojima funkcija nije definicana (ili one tačke koje predstavljaju granicu između definisane i nedefinisane oblasti, što ovde nije slučaj). Ova funkcija nije definisana kada je imenilac jednak nuli, tj. kada je [inlmath]1+\ln x=0[/inlmath], tj. kada je [inlmath]\ln x=-1[/inlmath], tj. kada je [inlmath]x=e^{-1}[/inlmath], tj. kada je [inlmath]x=\frac{1}{e}[/inlmath]. Prema tome, [inlmath]\frac{1}{e}[/inlmath] je kandidat za vertikalnu asimptotu.

Shady je napisao:Kada radim desnu asimptotu za [inlmath]\frac{1}{e}+0[/inlmath] dobijem da je [inlmath]\ln\left(\frac{1}{e}+0\right)[/inlmath] i to je jednako minus beskonačno

[inlmath]\ln\left(\frac{1}{e}+0\right)[/inlmath] nije jednako minus beskonačno. Nađimo prvo koliko je [inlmath]\ln\frac{1}{e}[/inlmath]:
[dispmath]\ln\frac{1}{e}=\ln e^{-1}=-\ln e=-1[/dispmath]
E sad, pošto je [inlmath]\ln[/inlmath] monotono rastuća funkcija, to znači da kad vrednost njenog argumenta malo povećamo, vrednost funkcije će se takođe malo povećati. Dakle, ako je [inlmath]\ln\frac{1}{e}[/inlmath] jednako [inlmath]-1[/inlmath], tada će [inlmath]\ln\left(\frac{1}{e}+0\right)[/inlmath] biti malo veće od [inlmath]-1[/inlmath].
Odatle sledi da će izraz u imeniocu, [inlmath]1+\ln\left(\frac{1}{e}+0\right)[/inlmath], biti malo veći od nule. To jest, beskonačno blizak nuli, ali pozitivan.
Izraz u brojiocu je [inlmath]1+\ln\left(\frac{1}{e}+0\right)=1-\left(-1\right)=2[/inlmath], to jest, pozitivna konačna vrednost.
Pošto su i brojilac i imenilac pozitivni, vrednost celog razlomka će biti pozitivna. A pošto u brojiocu imamo konačnu vrednost različitu od nule, a u imeniocu vrednost beskonačno blisku nuli, vrednost celog razlomka će ići u beskonačnost.
Dakle, pozitivna beskonačnost.

Shady je napisao:Izraz [inlmath]1-\infty[/inlmath] mi nikako nije jasan,da li je definisan ili šta?

Iako sam malopre pokazao da se ne dobija taj izraz, haj'mo i to da razjasnimo. Kad od konačne vrednosti oduzimaš beskonačnu, dobijaš negativnu beskonačnost, sasvim logično. Kad na konačnu vrednost dodaješ beskonačnu, dobijaš pozitivnu beskonačnost. Kad na beskonačnu vrednost dodaješ beskonačnu, dobijaš, naravno, beskonačnu vrednost. Međutim, kad od beskonačne vrednosti oduzimaš beskonačnu vrednost, onda to nije definisan izraz.
Pokušaj sebi sve ovo da slikovito predstaviš na brojevnoj pravoj, i sigurno će ti biti jasnije.

Hvala još jednom kao i uvijek