MATEMANIJA

Zdravo, moze li pomoc oko zadatka
[dispmath]\lim_{x\to0^+}\left(\ln\frac{1}{x}\right)^x[/dispmath]

Može pomoć, svakako, samo ću te zamoliti da pročitaš tačku 6. Pravilnika, radi budućih postova.
Pohvalno je što koristiš Latex već od prvog posta.

Uvedi smenu [inlmath]\frac{1}{x}=t[/inlmath], a zatim pokušaj da iskoristiš poznate limese [inlmath]\lim\limits_{u\to\infty}\sqrt[u]u=1[/inlmath] i [inlmath]\lim\limits_{u\to\infty}\frac{\ln u}{u}=0[/inlmath].

Ako mozes detaljnije da pojasnis. Ja sam probao bez smjene:
[dispmath]\lim_{x\to0^+}\left(\ln\frac{1}{x}\right)^{\!x}=\lim_{x\to0^+}\big(\ln1-\ln(x)\big)^x=\lim_{x\to0^+}\big(-\ln(x)\big)^x=\lim_{x\to0^+}\big(1-\ln(x)-1\big)^x[/dispmath]
Kako je neodredjen oblik [inlmath]\infty^0[/inlmath], pokusavam da namjestim [inlmath]e[/inlmath] ali ne ide...

Pa upravo zato i nije moguće na ovaj način „namestiti“ [inlmath]e[/inlmath]. Znamo da [inlmath]e[/inlmath] predstavlja limes kad [inlmath]x\to\infty[/inlmath] izraza [inlmath]\left(1+\frac{1}{x}\right)^x[/inlmath] ili limes kad [inlmath]x\to0[/inlmath] izraza [inlmath]\left(1+x\right)^{\frac{1}{x}}[/inlmath], a u oba ta slučaja imamo izraz oblika [inlmath]1^{\infty}[/inlmath]. Prema tome, ako dobijemo oblik [inlmath]\infty^0[/inlmath], onda to znači da treba potražiti drugi način.

Evo moje ideje:
[dispmath]\lim_{x\to0^+}\left(\ln\frac{1}{x}\right)^x\;\overset{\frac{1}{x}=t}{=\!=\!=}\;\lim_{t\to+\infty}\left(\ln t\right)^{\frac{1}{t}}=\lim_{t\to+\infty}\left(\ln t\right)^{\frac{1}{\ln t}\cdot\frac{\ln t}{t}}=\lim_{t\to+\infty}\left[\left(\ln t\right)^{\frac{1}{\ln t}}\right]^{\frac{\ln t}{t}}=\lim_{t\to+\infty}\left(\sqrt[\ln t]{\ln t}\right)^{\frac{\ln t}{t}}[/dispmath]
Kada [inlmath]t\to+\infty[/inlmath], tada izraz [inlmath]\frac{\ln t}{t}[/inlmath] teži nuli, a takođe, pošto i [inlmath]\ln t\to+\infty[/inlmath], izraz [inlmath]\sqrt[\ln t]{\ln t}[/inlmath] teži jedinici, tako da imamo oblik [inlmath]1^0[/inlmath], što predstavlja jedinicu.

Ja bih resavao ovaj limes preko lopitalovog pravila.
[dispmath]\left(\ln\frac{1}{x}\right)^{\!\large x}=\lim_{x\to0^+}\exp\left(x\cdot\ln\ln\frac{1}{x}\right)=\lim_{x\to0^+}\exp\left(\frac{\ln\ln\frac{1}{x}}{\frac{1}{x}}\right)=\\
=\lim_{x\to0^+}\exp\left(\frac{\frac{1}{\ln\frac{1}{x}}\frac{1}{\frac{1}{x}}\frac{-1}{x^2}}{\frac{-1}{x^2}}\right)=\lim_{x\to0^+}\exp\left(\frac{x}{\ln\frac{1}{x}}\right)=e^{\frac{0}{\infty}}=e^0=1[/dispmath]