MATEMANIJA

Zdravo!
[dispmath]f(x,y)=\begin{cases}\displaystyle\frac{xy^3}{x^4+y^2}, & (x,y)\ne(0,0)\\0 & (x,y)=(0,0)\end{cases}[/dispmath]
Treba ispitati neprekidnost funkcije u [inlmath](0,0)[/inlmath]. Da li neko zna na koji nacin odrediti da li koristiti teoremu o dva policajca (dokazivati da je f-ja neprekidna) ili koristiti nizove (dokazivati da f-ja nije neprekidna u [inlmath](0,0)[/inlmath])?

Hvala!

Zdravo i dobro dosao na forum!

Ne bih rekao da se zna nacin na koji bi trebalo raditi, vec je u ovakvim zadacima sve stvar pokusaja. Dakle, sta si ti pokusao od tih stvari (ako si ogranicavao, kako, a ako si sa nizovima, sa kojim konkretnim nizovima)?

Hvala na dobrodoslici!

Zadatak sam uradio preko teoreme o dva policajca, ali sam mislio da postoji nekakav "kriterijum" gde bih odmah mogao videti sta me zanima. Profesorka je rekla da u 99% slucajeva vazi da ako je stepen u imeniocu [inlmath]\ge[/inlmath] od stepena u brojiocu, onda se dokazuje da f-ja nije neprekidna, a ukoliko vazi obrnuto, onda se dokazuje da je f-ja neprekidna. Ovo je izgleda taj 1%.

Ima smisla to sto ona kaze (ali ne mislim da sad ima neko generalno pravilo, vise je sve stvar „osecaja“), jer ako imamo veci stepen u imeniocu, onda ono [inlmath]n[/inlmath] iz [inlmath]\frac{1}{n}[/inlmath] predje u brojilac (npr. jer imamo [inlmath]\displaystyle\frac{n^{-2}}{n^{-3}}=n[/inlmath]), te dati limes nece teziti nuli (ali ponovo, to ne mora uvek biti tako).

U ovom konkretnom slucaju, imamo slucaj da su stepeni isti (ako znamo na sta mislimo kada to kazemo), te je to nekako granicni slucaj (to jest, nije sve najjasnije). I ja sam proverio, i da, ovaj limes zaista tezi nuli. Ali, da li bi nam ti prikazao svoje resenje, jer tada mozemo biti sigurni da si dobro uradio, a i to resenje moze koristiti drugima? A ukoliko se tvoje resenje bude razlikovalo od mog, onda obecavam da cu prikazati i svoje resenje.

Naravno. Ja sam ovako uradio:
[dispmath]0\leq\biggl|\frac{xy^3}{x^4+y^2}\biggr|\leq\biggl|\frac{xy^3}{y^2}\biggr|=|xy|[/dispmath]
Druga nejednakost vazi jer: [inlmath]x^4+y^2\ge y^2[/inlmath], tako da se [inlmath]\displaystyle\frac{y^2\cdot|xy|}{y^2}[/inlmath] u sledecem koraku mogu skratiti i ostaje samo [inlmath]|xy|[/inlmath] sto tezi nuli kada [inlmath](x,y)\to(0,0)[/inlmath].

Hvala na odgovoru. Tako sam i ja uradio, i verujem da je to najbrze resenje.

Takodje, zamolio bih te da u buducnosti (a nadam se da cemo se druziti) u celom svom postu koristis LaTeX (gde god za to ima potrebe, tj. za matematicke izraze), jer je to jedna od tacaka Pravilnika ovog foruma (a i vizuelno je verujem svima tako lakse da procitaju post). Za ovu situaciju, ja sam izvrsio te izmene u tvom postu. A bas u vezi sa tim, nemoj koristiti \mid za zagrade od apsolutne vrednosti, jer \mid stvara blanko razmake sa leve i desne strane crte, a takodje, to je zapravo komanda koja se koristi prilikom oznacavanja [inlmath]a\mid b[/inlmath] ([inlmath]a[/inlmath] deli [inlmath]b[/inlmath]), ili kod zapisa skupova (npr. [inlmath]\{ x\in A\mid x^2=3\}[/inlmath]). Umesto toga, obicno se koristi bas uspravna crta | (sa tastature), ili ako bas zelimo da budemo cepidlake, onda \vert (ili ako smo jos vece cepidlake \lvert i \rvert (za levu i desnu zagradu)).

Dogovoreno!