MATEMANIJA

Imam funkciju [inlmath]f(x)=e^{\Large\frac{3x}{2-x}}[/inlmath], cija je oblast definisanosti [inlmath]\mathbb{R}\setminus\{2\}[/inlmath]. I sad treba izracunati limese, tj. videti da li ima asimptota.

Kada [inlmath]x[/inlmath] tezi [inlmath]2_-[/inlmath] ili [inlmath]2_+[/inlmath] nemam problem kod odredjivanja limesa, iz cega se dobije da je [inlmath]x=2[/inlmath] vertikalna asimptota sa leve strane (tj. kad [inlmath]x[/inlmath] tezi [inlmath]2_-[/inlmath]). Medjutim, ne znam kako da izracunam limese kad [inlmath]x[/inlmath] tezi [inlmath]+\infty[/inlmath] ili [inlmath]-\infty[/inlmath], jer se to svede na [inlmath]\displaystyle e^{\frac{+\infty}{-\infty}}[/inlmath] i [inlmath]\displaystyle e^{\frac{-\infty}{+\infty}}[/inlmath], respektivno.

Znam da je [inlmath]e^{+\infty}=+\infty[/inlmath], a da je [inlmath]e^{-\infty}=0[/inlmath], ali ovde dobijam neodredjeni oblik [inlmath]\frac{\infty}{\infty}[/inlmath], a Lopitalovo pravilo mi ovde ne pomaze. Wolfram kaze da postoji horizontalna asimptota i sa leve i sa desne strane i to [inlmath]y=e^{-3}[/inlmath].

Pa koliki je [inlmath]\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{3x}{2-x}[/inlmath], odnosno [inlmath]\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\frac{3x}{2-x}[/inlmath]?

Oba limesa jednaka su [inlmath]-3[/inlmath].

Znaci vazi jednakost:
[dispmath]\lim_{x\to\infty}e^{\Large\frac{3x}{2-x}}=e^{\Large\lim\limits_{x\to\infty}\frac{3x}{2-x}}[/dispmath]

EDIT: Pitam da li vazi, jer ne znam za ovo? Nismo bas nesto detaljno radili granicne vrednosti.

Da, vazi to sto si napisao. U principu, vazi sledece:

Teorema. Neka je [inlmath]\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=L[/inlmath] i neka je [inlmath]g[/inlmath] neprekidna funkcija u tacki [inlmath]L[/inlmath]. Tada vazi [inlmath]\lim\limits_{x\to\infty}g(f(x))=g(L)[/inlmath].

Naravno, ovako se ne prica u srednjoj skoli, vec se jednostavno kaze da kako je limes tog eksponenta jednak [inlmath]-3[/inlmath], to je onda ceo limes jednak [inlmath]e^{-3}[/inlmath] (pa i na fakultetu se ne obrazlaze nesto vise (sem ako ne pricamo o usmenom delu ispita)).

Evo da dodam i ovo, mada se u potpunosti slažem s kolegom Onomatopejom:
Popularno rečeno, limes može i da se "popne" u eksponent i da "uđe" pod koren i slično, ako je funkcija neprekidna na datom intervalu.