MATEMANIJA

[dispmath]\lim_{n\to\infty}n\left(\frac{\displaystyle e^{\frac{1}{\sqrt n}}+1}{\displaystyle e^{\frac{1}{\sqrt n}}-1}-2\sqrt n\right)^2[/dispmath]
Ja ovde dobijam pogresno resenje od [inlmath]\displaystyle\frac{1}{4}[/inlmath] dok pravo treba da bude [inlmath]\displaystyle\frac{1}{36}[/inlmath]

Ja sam uradio razvoj za [inlmath]\displaystyle e^{\frac{1}{\sqrt n}}=1+\frac{1}{\sqrt n}+\frac{1}{2\sqrt n}+o\left(\frac{1}{n^4}\right)[/inlmath].

Ne znam gde gresim ni kako bih ga uradio pravilno svaka pomoc je dobrodosla.

Predlažem da ispravim postavku zadatka najpre, trebalo bi da [inlmath]n[/inlmath] teži beskonačnosti a ne [inlmath]x[/inlmath].
Pa da nastavimo.

Promenjeno , hvala skroz mi je promaklo kad sam kopirao sa posta za koriscenje latex-a

matija je napisao:Ja sam uradio razvoj za [inlmath]\displaystyle e^{\frac{1}{\sqrt n}}=1+\frac{1}{\sqrt n}+\frac{1}{2{\color{red}\sqrt n}}+o\left(\frac{1}{n^4}\right)[/inlmath].

Pogrešan ti je razvoj za [inlmath]\displaystyle e^{\frac{1}{\sqrt n}}[/inlmath], grešku sam ti označio crvenom bojom. Pošto razvoj za [inlmath]e^t[/inlmath] glasi
[dispmath]e^t=1+t+\frac{t^2}{2!}+\frac{t^3}{3!}+o\left(t^3\right)[/dispmath]
zameniš [inlmath]t[/inlmath] sa [inlmath]\displaystyle\frac{1}{\sqrt n}[/inlmath] i dobićeš
[dispmath]e^{\frac{1}{\sqrt n}}=1+\frac{1}{\sqrt n}+\frac{1}{2n}+\frac{1}{6\sqrt{n^3}}+o\left(\frac{1}{\sqrt{n^3}}\right)[/dispmath]
I, u ovom zadatku nije dovoljno da razvijaš do [inlmath]\displaystyle\frac{1}{2n}[/inlmath] (jer tada ne bi u brojiocu dobio tačan koeficijent uz prvi stepen koji se ne krati), već ti je potreban i jedan član više – zbog toga sam i napisao razvoj do člana [inlmath]\displaystyle\frac{1}{6\sqrt{n^3}}[/inlmath].