MATEMANIJA

Nisam znao da li da ovu temu postavim u funkcije ili limese, s obzirom da je jedno povezano s drugim

Evo dva zadačića. U prvom treba odrediti kakav prekid ima funkcija (1. vrste, 2. vrste...), a u drugom ispitati je li funkcija neprekidna.
[dispmath]f\left(x\right)=\sqrt{\frac{x^2}{\left|\sin x\right|}},\quad x_0=0[/dispmath]

Evo i nastavka - drugi zadatak.
[dispmath]f\left(x\right)=\begin{cases}
e^\frac{1}{x-1}, & x<1\\
0, & x=1\\
\mathrm{arctg}\frac{1}{x-1}-\frac{\pi}{2}, & x>1\\
\end{cases}[/dispmath]

Opušteno, nismo toliko striktni, nekad je zaista teško napraviti granicu između različitih matematičkih oblasti...

Evo za početak prvi zadatak, pa ću drugi u posebnom postu.
[dispmath]f\left(x\right)=\sqrt{\frac{x^2}{\left|\sin x\right|}},\quad x_0=0[/dispmath]
Ovu funkciju možemo napisati na sledeći način:
[dispmath]f\left(x\right)=\sqrt{\frac{x^2}{\left|\sin x\right|}}=\sqrt{\frac{\left|x\right|\cdot\left|x\right|}{\left|\sin x\right|}}=\sqrt{\left|x\right|}\cdot\sqrt{\frac{\left|x\right|}{\left|\sin x\right|}}=\sqrt{\left|x\right|}\cdot\sqrt{\left|\frac{x}{\sin x}\right|}[/dispmath]
Vidimo da [inlmath]f\left(x\right)[/inlmath] u nuli nije definisana, zbog toga što je u toj tački vrednost [inlmath]\left|\sin x\right|[/inlmath], koji se nalazi u imeniocu razlomka, jednaka nuli, tako da imamo deljenje nule nulom.

Takođe, vidimo da je, zbog apsolutnih vrednosti, ova funkcija parna, tako da će levi i desni limes u nuli biti jednaki:
[dispmath]\lim_{x\to 0-}f\left(x\right)=\lim_{x\to 0+}f\left(x\right)[/dispmath][dispmath]\lim_{x\to 0}f\left(x\right)=\lim_{x\to 0}\left(\sqrt{\left|x\right|}\cdot\sqrt{\left|\frac{x}{\sin x}\right|}\right)=\sqrt{\left|0\right|}\cdot\sqrt{\left|1\right|}=0[/dispmath]
Pošto su i levi i desni limes u tački [inlmath]0[/inlmath] konačni i međusobno jednaki a funkcija u tački [inlmath]0[/inlmath] nije definisana, ovde se radi o otklonjivom prekidu. To znači da taj prekid možemo „otkloniti“ ako dodatno definišemo vrednost funkcije u prekidnoj tački, tako da ta vrednost bude jednaka levom i desnom limesu u toj tački (u ovom slučaju, nuli).
Drugim rečima, ako bismo funkciju definisali na sledeći način:
[dispmath]f\left(x\right)=\left\{
\begin{array}{l l}
\sqrt{\frac{x^2}{\left|\sin x\right|}} & \quad x\ne 0\\
0 & \quad x=0\\
\end{array}\right.[/dispmath]
takva funkcija bi bila neprekidna.

(U literaturi se na nekim mestima otklonjivi prekid navodi kao specijalan slučaj (podslučaj) prekida prve vrste, dok se na drugim mestima navodi kao zaseban slučaj, tj. navode se prekid prve vrste, otklonjivi prekid i prekid druge vrste.)

[dispmath]f\left(x\right)=\begin{cases}
e^\frac{1}{x-1}, & x<1\\
0, & x=1\\
\mathrm{arctg}\frac{1}{x-1}-\frac{\pi}{2}, & x>1\\
\end{cases}[/dispmath]
[dispmath]\lim_{x\to 1-}f\left(x\right)=\lim_{x\to 1-}e^\frac{1}{x-1}=[/dispmath]
(Uvodimo smenu [inlmath]t=\frac{1}{x-1}[/inlmath])
[dispmath]=\lim_{t\to -\infty}e^t=0[/dispmath][dispmath]\lim_{x\to 1+}f\left(x\right)=\lim_{x\to 1+}\left(\mathrm{arctg}\frac{1}{x-1}-\frac{\pi}{2}\right)=\lim_{x\to 1+}\left(\mathrm{arctg}\frac{1}{x-1}\right)-\frac{\pi}{2}=[/dispmath]
(Takođe uvodimo smenu [inlmath]t=\frac{1}{x-1}[/inlmath])
[dispmath]=\lim_{t\to +\infty}\left(\mathrm{arctg}\:t\right)-\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{2}=0[/dispmath]
Pošto je
[dispmath]\lim_{x\to 1-}f\left(x\right)=\lim_{x\to 1+}f\left(x\right)=f\left(1\right)=0[/dispmath]
zaključujemo da je ova funkcija neprekidna.

Hvala