MATEMANIJA

Zadatak glasi: U zavisnosti od realnog parametra [inlmath]a\ge1[/inlmath] odrediti graničnu vrednost:
[dispmath]\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\sqrt {a^{20n} +1}}{\left(1+a^n\right)\left(1+2a^{2n}\right)\left(1+3a^{3n}\right)\left(1+4a^{4n}\right)}[/dispmath]
Znam limese, ali nije mi jasno ovo sa parametrom i kako da ga nadjem. Ako neko moze da mi da neke smernice, fore, itd. kako da uradim ovakav zadatak. Hvala unapred.

Podeliš i brojilac i imenilac najvećim stepenom broja [inlmath]a[/inlmath], a to je u ovom slučaju [inlmath]a^{10n}[/inlmath].
Zatim vodiš računa o tome da je [inlmath]\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{a^n}=1[/inlmath] kada je [inlmath]a=1[/inlmath] i da je [inlmath]\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{a^n}=0[/inlmath] kada je [inlmath]a>1[/inlmath].

Posto je [inlmath]a\geq1[/inlmath] to znaci da [inlmath]\lim\limits_{n\to\infty}a^n=+\infty[/inlmath]. Pa onaj izraz mozemo da posmatramo kao racionalno razlomljenu funkciju a kod njih su najbitnije konstatne uz najveci stepen. Gore kad izvuces [inlmath]a^{20n}[/inlmath] izvan korena ostane ti samo [inlmath]a^{10n}[/inlmath] dok koren tezi [inlmath]1[/inlmath]. U imeniocu kad izmnozis sve zagrade dobices da ti je najveci clan [inlmath]a^{10n}[/inlmath] sa konstantom koja stoji uz njega [inlmath]24[/inlmath]. Pa imamo
[dispmath]\lim_{n\to\infty}\frac{a^{10n}\sqrt{1+\frac{1}{a^{20n}}}}{24a^{10n}+\cdots+1}=\frac{1}{24}[/dispmath]

Trougao je napisao:Posto je [inlmath]a\geq1[/inlmath] to znaci da [inlmath]\lim\limits_{n\to\infty}a^n=+\infty[/inlmath].

Kao što napisah u svom prethodnom postu (koji ti je možda promakao budući da smo postove objavili skoro istovremeno), jedan slučaj imamo kada je [inlmath]a=1[/inlmath], a drugi kada je [inlmath]a>1[/inlmath]. Ovo što si pisao odnosi se na slučaj kada je [inlmath]a>1[/inlmath].

A kako bi bilo za [inlmath]a=1[/inlmath]

Pa, napisao sam:

Daniel je napisao:da je [inlmath]\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{a^n}=1[/inlmath] kada je [inlmath]a=1[/inlmath]

Zapravo, u slučaju [inlmath]a=1[/inlmath] čak i nema potrebe deliti brojilac i imenilac sa [inlmath]a^{10n}[/inlmath], već se samo u zadati izraz uvrsti [inlmath]a=1[/inlmath] i izračuna se limes, znajući da je [inlmath]\lim\limits_{n\to\infty}1^n=1[/inlmath].

Aha to je to! Hvala vam puno obojici

@Daniel istovremeno smo kucali ali ja nisam video da si okacio post. Da treba [inlmath]a>1[/inlmath] umesto [inlmath]a\geq1[/inlmath] omasih u oznakama.