MATEMANIJA

Neka su [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath] dati sa:
[inlmath]\displaystyle a=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\frac{2016^n+2015^n}{2464^n}}[/inlmath] i [inlmath]\displaystyle b=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n\cdot(n+3)}[/inlmath], odrediti [inlmath]\displaystyle a+\frac{2}{b}[/inlmath]
Ja sam ovaj red resio ,,metodom skracivanja,, i dobio sam kao resenje [inlmath]\displaystyle b=\frac{11}{18}[/inlmath].
Problem nastaje kod prvog limesa koji ne umem da resim, ali naslucujem da se koristi [inlmath]\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{(1+x)^a-1}{x}=a[/inlmath].
Zamolio bih nekoga da proveri da li sam dobro izracunao red i da me uputi na resavanje prvog limesa.Hvala.

Neka je [inlmath]a=2016[/inlmath], [inlmath]b=2015[/inlmath], [inlmath]c=2464[/inlmath]. Vidimo da je [inlmath]c>a>b>0[/inlmath]. Tada je [inlmath]\displaystyle\Bigl(\frac{a}{c}\Bigr)^{\!n}<\Bigl(\frac{a}{c}\Bigr)^{\!n}+\Bigl(\frac{b}{c}\Bigr)^{\!n}<2\Bigl(\frac{a}{c}\Bigr)^{\!n}[/inlmath]. I to bi trebalo da je to [posto si trazio samo hint].

Rezultat za [inlmath]b[/inlmath] je dobar.

Ali ja time samo dobijam cime je niz ogranicen odozgo tj. od cega je limes manji ili jednak?Ako moze jos neki maleni hint,i dalje imam zelju sam da ga resim.Hvala.

Pa imas i procenu odozdo, nije samo odozgo. I onda kad imas te dve stvari mozes iskoristiti lemu o dva policajca (ili kako god da neko zove tu teoremu, neko koristi i neke nazive sa sendvicima...).

Procitao sam tu teormu ovde negde na forumu ali se nikada nisam formalno upoznao sa njom.Da li je to onaj metod ,,polovljenja intervala,,?

Teorema o dva policajca (teorema o tri limesa, mada je ispravnije reći lema) : Ako imamo [inlmath]x\le y\le z[/inlmath] gde [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]z[/inlmath] teže nečemu, onda možemo uočiti da [inlmath]y[/inlmath] mora takođe težiti ka tome. Ukratko [inlmath]y[/inlmath] ne može da odudara od graničnih vrednosti koje imaju [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]z[/inlmath].

Nije to taj metod (taj metod polovljenja je kad trazis nulu funkcije, tj. nije mnogo povezano sa ovime). Lema o dva policajca glasi:

Neka su [inlmath]\{a_n\}[/inlmath], [inlmath]\{b_n\}[/inlmath], [inlmath]\{c_n\}[/inlmath] nizovi realnih brojeva takvi da je [inlmath]a_n\le b_n\le c_n[/inlmath] pocevsi od nekog [inlmath]n\in\mathbb{N}[/inlmath] i [inlmath]\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\lim\limits_{n\to\infty}c_n=a[/inlmath]. Tada je i [inlmath]\lim\limits_{n\to\infty}b_n=a[/inlmath]. [napomena: teorema vazi i ako je [inlmath]a[/inlmath] plus ili minus beskonacno, tj. ne mora biti konacno]

@Herien: Vidim da si postovao pre mene, ali tvoja formulacija je malo neprecizna, te cu ipak postovati ono sto sam i krenuo.

Okej i evo sta time dobijam:
[dispmath]\frac{2016}{2464}\le\sqrt[n]{\left(\frac{2016}{2464}\right)^n+\left(\frac{2015}{2464}\right)^n}\le\sqrt2\cdot\frac{2016}{2464}[/dispmath] i sada vidim da su mi ove granicne vrednosti na krajevima nejednakosti razlicite pa ne smem primeniti lemu?

Imas [inlmath]n[/inlmath]-ti koren iz dva, ne kvadratni.

Polako sa rasudjivanjem, ne brzaj.

Ja i moja brzopletost
hvala puno sad sam dobio resenje koje se podudara sa tacnim

Evo polomih se oko ovog limesa (red je tačno urađen, što reče kolega Onomatopeja).
Rezultat limesa je [inlmath]\frac{9}{11}[/inlmath].
Pre svega sam ono dole (u imeniocu) korenovao i dobijem odmah [inlmath]\frac{1}{2464}[/inlmath] pa sam nameštao graničnu vrednost. U brojiocu dobih onda [inlmath]2016[/inlmath]. Dakle, koren je koren i gotovo, šta će ti ove silne leme i teoreme itd. poštovani korisniče Gekko.
E sada sam ja ručno skraćivao [inlmath]\frac{2016}{2064}[/inlmath] i dobih [inlmath]\frac{9}{11}[/inlmath].
Dodatni hint (retroaktivno, jer tvrdiš da si već rešio, mada ti ne navede rezultat zadatka pa ni traženog limesa):
[dispmath]\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{2016^n+2015^n}=2016[/dispmath]
Ja mislim da je ovo moje tačno, a neka me neko ispravi ako grešim.

Apsolutno je tacno.Meni je samo zao sto nisam koristio mozak i odmah ispred korena izbacio [inlmath]\frac{2016}{2464}[/inlmath] odakle bi trivijalno sledio dati limes...
Na greskama se uci...