MATEMANIJA

Ako je:
[dispmath]a_n=1+\frac{1}{\sqrt2}+\frac{1}{\sqrt3}+\cdots+\frac{1}{\sqrt n}-2\cdot\sqrt n[/dispmath] za [inlmath]n[/inlmath] iz skupa prirodnih brojeva, onda je
[dispmath]\lim_{n\to\infty}\bigl(n\sqrt n\cdot(a_{n+1}-a_n)\bigr)[/dispmath] jednak?

Ja sam to radio ovako, pri cemu je sa [inlmath]L[/inlmath] oznacen limes:
[dispmath]\begin{align}
& a_{n+1}-a_n=\frac{1}{\sqrt{n+1}}-2\cdot\sqrt{n+1}+2\cdot\sqrt n\\
\Longrightarrow\quad & L=\frac{n\sqrt n}{\sqrt{n+1}}-2n\cdot\sqrt{n(n+1)}+2n^2\\
\Longrightarrow\quad & L=\frac{n\sqrt n}{\sqrt n\cdot\sqrt{1+\frac{1}{n}}}-2n^2\sqrt{1+\frac{1}{n}}+2n^2
\end{align}[/dispmath] a sada iskoristimo poznati limes za stepen kada promenljiva tezi nuli [inlmath](\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{(1+x)^a-1}{x}=a)[/inlmath] i dobijemo:
[dispmath]L=\frac{n}{1+\frac{1}{2n}}-2n^2\left(1+\frac{1}{2n}\right)+2n^2=\frac{n}{1+\frac{1}{2n}}-n-2n^2+2n^2=\frac{n}{1+\frac{1}{2n}}-n=n\cdot\frac{\frac{-1}{2n}}{1+\frac{1}{2n}}=-\frac{1}{2}[/dispmath] Ali moje se resenje ne podudara sa tacnim.
Zamolio bih nekoga da mi ukaze na to gde gresim.Hvala unapred.

[dispmath]a_{n+1}-a_n=\frac{1}{\sqrt{n+1}}-2\cdot\sqrt{n+1}-\frac{1}{\sqrt n}+2\cdot\sqrt n[/dispmath]

Obrati pažnju na to da svojstvo limesa [inlmath]\displaystyle\lim_{x\to x_0}\bigl(f(x)+g(x)\bigr)=\lim_{x\to x_0}f(x)+\lim_{x\to x_0}g(x)[/inlmath] važi samo onda kada limesi [inlmath]\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x)[/inlmath] i [inlmath]\displaystyle\lim_{x\to x_0}g(x)[/inlmath] postoje.
Taj propust si napravio kada si na [inlmath]\displaystyle\frac{n}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}}-2n^2\sqrt{1+\frac{1}{n}}+2n^2[/inlmath] primenjivao [inlmath]\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{(1+x)^a-1}{x}=a[/inlmath], budući da limesi [inlmath]\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{n}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}}[/inlmath] i [inlmath]\displaystyle\lim_{n\to\infty}2n^2\sqrt{1+\frac{1}{n}}[/inlmath] nisu konačni.

Gekko je napisao:Ali moje se resenje ne podudara sa tacnim.

Kad god znaš kako glasi tačno rešenje, molim te da ga uvek napišeš. Na taj način pomažeš drugima da ti pomognu.
U ovom zadatku rešenje treba da bude [inlmath]\displaystyle-\frac{1}{4}[/inlmath].

pentagram142857 je napisao:[dispmath]a_{n+1}-a_n=\frac{1}{\sqrt{n+1}}-2\cdot\sqrt{n+1}-\frac{1}{\sqrt n}+2\cdot\sqrt n[/dispmath]

Ispustio si [inlmath]-\frac{1}{\sqrt n}[/inlmath].

Cekaj evo postupno:
[dispmath]\begin{align}
& a_{n+1}=1+\frac{1}{\sqrt2}+\cdots+\frac{1}{\sqrt n}+\frac{1}{\sqrt{n+1}}-2\cdot\sqrt{n+1}\\
\Longrightarrow\quad & a_{n+1}-a_n=\cancel1+\cancel{\frac{1}{\sqrt2}}+\cdots+\cancel{\frac{1}{\sqrt n}}+\frac{1}{\sqrt{n+1}}-2\cdot\sqrt{n+1}-\cancel1-\cancel{\frac{1}{\sqrt2}}-\cdots-\cancel{\frac{1}{\sqrt n}}+2\sqrt n\\
\Longrightarrow\quad & a_{n+1}-a_n=\frac{1}{\sqrt{n+1}}-2\cdot\sqrt{n+1}+2\cdot\sqrt n
\end{align}[/dispmath] Kao sto vidis, skrati se.
@Daniel
Kako onda da resim limes bez koriscenja tih pravila?Hvala.

Kad si došao do koraka [inlmath]\displaystyle L=\frac{n\sqrt n}{\sqrt{n+1}}-2n\sqrt{n(n+1)}+2n^2[/inlmath] svedi sva tri sabirka na zajednički imenilac, malo sredi brojilac i, pošto ćeš u brojiocu dobiti razliku dve beskonačne veličine, primeni na brojilac [inlmath]\displaystyle a-b=\frac{a^2-b^2}{a+b}[/inlmath] pa će se nešto u brojiocu pokratiti...

Predlažem i alternativni postupak, da se opšti član niza zapiše kao:
[dispmath]a_n=1+\frac{1}{\sqrt2}+\frac{1}{\sqrt3}+\cdots+\frac{1}{\sqrt n}-2\cdot\sqrt n=\sum_{k=1}^n\frac{1}{\sqrt k}-2\cdot\sqrt n[/dispmath]
Probao sam i dalje, deluje mi lakše od prethodno izloženog postupka.

Ako može pojašnjenje, pošto odavde nije baš vidljivo (bar meni) šta se tačno time postiže?

Da l' ćemo izraz za opšti član napisati u razvijenom obliku ili u obliku sume, u oba slučaja vrlo lako dolazimo do toga da je [inlmath]\displaystyle a_{n+1}-a_n=\frac{1}{\sqrt{n+1}}-2\sqrt{n+1}+2\sqrt n[/inlmath].

Izvinjavam se sto ovako nepozvan upadam, no, cisto kao fun fact da dodam da se za [inlmath]x\ge1[/inlmath] moze pokazati da vazi
[dispmath]\sum_{1\le n\le x}\frac{1}{\sqrt{n}}=2x^{1/2}+c+\mathcal{O}(x^{-1/2}),[/dispmath] gde je [inlmath]\displaystyle c=-1-\frac{1}{2}\int_1^\infty\frac{\{t\}}{t^{3/2}}\,dt[/inlmath], pri cemu je [inlmath]\{\cdot\}[/inlmath] funkcija razlomljeni deo, a [inlmath]\mathcal{O}[/inlmath] oznaka za veliko o.

Daniel,
slažem se s tvojim prethodnim postom, no ja sam mislio da je sve lakše dobiti u kraćem zapisu preko sume. A i manje je kucanja u Latexu.
A Onomatopejin (ultra prethodni) post tek moram da proučim. Stalno zadaje domaće zadatke za razmišljanje.