MATEMANIJA

Sutra imam proveru znanja iz tejlorovog polinoma i njegovih primena, pa evo jednog zadatka za koji smatram da zvanicno resenje nije tacno:
Odrediti [inlmath]\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin(\sin x)-x\sqrt[3]{1-x^2}}{x^3}[/inlmath]
Ja kada ga radim po maklorenu, dobijem resenje [inlmath]\frac{1}{6}[/inlmath] a kada ga radim bez maklorena dobijem [inlmath]\frac{1}{3}[/inlmath], medjutim nista od toga nije tacno. Ovaj put se izvinjavam zbog toga sto nisam napisao resenje dato u zbirci upravo zbog toga sto mislim da je pogresno, pa bih prvo proverio sa vama, pa onda uporedio. Hvala na razumevanju.

Kad ja radim po Maklorenu, dobijem jedno rešenje.
Kad radim po Lopitalu, dobijem isto to rešenje.
Kad proverim softverski, dobijem isto to rešenje.
To moje rešenje se razlikuje od oba rešenja koja ti dobiješ, tako da pretpostavljam da moje rešenje odgovara onom u zbirci.

Šta dobiješ kao razvoj sinusa, a šta kao razvoj kubnog korena?

Moja greska, sad sam video gde gresim...
u razvoju [inlmath]\sin(\sin x)[/inlmath] sam zaboravio da ubacim opet razvoj za [inlmath]\sin x[/inlmath] u funkciji od [inlmath]x[/inlmath], evo na sta tacno mislim:
po tejloru sa peanovim ostatkom je: [inlmath]\sin x=x-\frac{x^3}{6}\cdots+o\left(x^{2n}\right)\;\Leftrightarrow\;\sin(\sin x)=\sin x-\frac{\sin^3x}{6}\cdots+o\left(x^{2n}\right)[/inlmath] i sada u poslednjoj formuli umesto [inlmath]\sin x[/inlmath] treba staviti [inlmath]\sin x=x-\frac{x^3}{6}+o\left(x^4\right)[/inlmath] a ja sam mahinalno ubacio limes [inlmath]\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1[/inlmath], a kada se ubaci to sto treba dobije se da je limes jednak nuli, sto je resenje u zbirci, sto pretpostavljam da si i ti dobio

Tako je, limes je nula.