MATEMANIJA

[dispmath]y=\frac{2x}{x^2+1}[/dispmath] Za domen funkcije dobije se da je [inlmath]Df=\mathbb{R}[/inlmath]. Je l' to onda znači da ova funkcija nema vertikalnu asimptotu, a da je horizontalna asimptota [inlmath]y=0[/inlmath]?

Nema vertikalnu asimptotu.

MartinaJuric, da.

Tako je, ova funkcija nema vertikalnu asimptotu, a horizontalna je [inlmath]y=0[/inlmath].

Međutim, to što je [inlmath]Df=\mathbb{R}[/inlmath] nije sâmo po sebi dovoljan uslov da funkcija nema vertikalnu asimptotu. Dovoljan uslov da funkcija nema vertikalnu asimptotu jeste taj da je [inlmath]Df=\mathbb{R}[/inlmath] i da je uz to funkcija neprekidna (kao što ova funkcija i jeste).

Drugo, to što je horizontalna asimptota [inlmath]y=0[/inlmath] nije posledica toga što je domen [inlmath]Df=\mathbb{R}[/inlmath].

Primer funkcije kod koje je [inlmath]Df=\mathbb{R}[/inlmath] a koja ima vertikalnu asimptotu bio bi
[dispmath]y=\begin{cases}
0, & x\le0\\
\frac{1}{x}, & x>0
\end{cases}[/dispmath] (kod te funkcije jeste [inlmath]Df=\mathbb{R}[/inlmath], međutim, funkcija ima prekid u tački [inlmath]x=0[/inlmath] i u toj tački ima i desnu vertikalnu asimptotu).

Primer funkcije kod koje je [inlmath]Df=\mathbb{R}[/inlmath] a kod koje horizontalna asimptota nije [inlmath]y=0[/inlmath] bio bi
[dispmath]y=\frac{2x}{x^2+1}+1[/dispmath]