MATEMANIJA

Treba mi pomoc oko ovog zadatka, ne umem da ga uradim. Hvala unapred.
[dispmath]\lim_{x\to0}x^x[/dispmath]

Sto se tice latexa, dobro si uradio, samo koristi

Kôd: Obeleži sve

[inlinemath][/inlinemath]

tagove umjesto

Kôd: Obeleži sve

[equation][/equation]

koje ti napisa.
Sto se tice zadatka, da se razumijemo ja nisam neki ekspert, ali hajde.
P.S. Jeste li ucili L’Hôpital-ovo pravilo?

Neka je [inlmath]y=x^x[/inlmath]. Tada je [inlmath]\ln(y)=x\ln(x)[/inlmath] (po pravilu logaritma).
Stoga,
[dispmath]\lim_{x\to0}\ln(y)=\lim_{x\to0}x\ln(x)=0[/dispmath] Ali kako je [inlmath]e^{\ln(y)}=y=x^x[/inlmath] pronalazimo sljedeće:
[dispmath]\lim_{x\to0}x^x=\lim_{x\to0}y=\lim_{x\to0}e^{\ln(y)}=e^{\lim\limits_{x\to0}\ln(y)}=e^0=1[/dispmath]

Ne bih se složio s primedbom za Latex-tagove. murgalord je dobro uradio, equation-tagove upravo i treba koristiti kad se navodi zadatak, a valja ih koristiti i kad se navodi postupak, jer su tada izrazi uočljiviji.
Izmenio sam i tebi InlineMath u equation tagove u onom delu gde pokazuješ postupak rešavanja, složićeš se da je ovako bolje. Ako se ipak ne složiš, vratiću na staro, nikakav problem.

Što se tiče [inlmath]\lim\limits_{x\to0}x\ln x=0[/inlmath], to se može pokazati L'Hôpitalom (tako što [inlmath]x[/inlmath] pređe u imenilac i napiše se kao [inlmath]\frac{1}{x}[/inlmath] pa se primeni L'Hôpital), a može i smenom [inlmath]x=\frac{1}{t}[/inlmath], čime dobijamo
[dispmath]\lim_{x\to0}x\ln x=\lim_{t\to+\infty}\frac{1}{t}\ln\frac{1}{t}=-\lim_{t\to+\infty}\frac{\ln t}{t}[/dispmath] a to je onaj poznati limes za koji se zna da teži nuli jer logaritamska funkcija sporije teži beskonačnosti od stepene (videti ovaj post pod 4).

---

Inače, na [inlmath]\lim\limits_{x\to0}x^x[/inlmath] mogli smo odmah primeniti identitet [inlmath]a=e^{\ln a}[/inlmath], čije se dobije
[dispmath]\lim_{x\to0}x^x=\lim_{x\to0}e^{\ln x^x}=\lim_{x\to0}e^{x\ln x}=e^{\lim\limits_{x\to0}x\ln x}=\cdots[/dispmath]

Ovde je pravilnije pisati [inlmath]\lim_{x\to0^+}[/inlmath] jer funkcija [inlmath]x^x[/inlmath] nije definisana za [inlmath]x<0[/inlmath] (mozemo reci i u nuli, ali tu mozemo koristiti dogovor da je [inlmath]0^0=1[/inlmath] (i to bas zbog ovog limesa)). Pa i da biste pisali te logaritme mora biti [inlmath]x>0[/inlmath]. Naravno, ako sve gledamo u kompleksnoj ravni onda ima smisla pisati [inlmath]x\to0[/inlmath], ali sumnjam da je to ovde slucaj.