MATEMANIJA

Ponovo ja sa razvojima, ponovo u nadi da ću razumeti bolje ovo čudo od o-a.
[dispmath]\boldsymbol{\lim_{n\to\infty}\Biggl(n\cdot\left(\frac{\sqrt[n]e+1}{\sqrt[n]e-1}-2\cdot n\right)\Biggr)=}\\
=\lim_{n\to\infty}\left(n\cdot\frac{e^{\frac{1}{n}}+1-2n\left(e^{\frac{1}{n}}-1\right)}{e^{\frac{1}{n}}-1}\right)\\
=\lim_{n\to\infty}\left(n\cdot\frac{1+\frac{1}{n}+\frac{1}{2n^2}+1-2n\cdot\biggl(1+\frac{1}{n}+\frac{1}{2n^2}+\frac{1}{6n^3}+o\left(\frac{1}{n^3}\right)-1\biggr)}{\frac{1}{n}+\frac{1}{2n^2}+o\left(\frac{1}{n^2}\right)}\right)\\
=\lim_{n\to\infty}\left(n\cdot\frac{2+\frac{1}{n}+\frac{1}{2n^2}-2-\frac{1}{n}-\frac{1}{3n^2}+o\left(\frac{1}{n^2}\right)}{\frac{1}{n}+\frac{1}{2n^2}+o\left(\frac{1}{n^2}\right)}\right)\\
=\lim_{n\to\infty}\left(n\cdot\frac{\frac{1}{6}n+o\left(\frac{1}{n}\right)}{\frac{1}{n}+\frac{1}{2n^2}+o\left(\frac{1}{n^2}\right)}\right)\\
=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{\frac{1}{6}+o(1)}{1+o(1)}\right)\\
=\frac{1}{6}[/dispmath] Na osnovu čega da znam da razvijamo baš do trećeg?

Pozdrav! U petom redu bi [inlmath]n^2[/inlmath] trebalo da bude u imeniocu, zajedno sa šesticom, mada ti je to verovatno štamparska greška. Dakle:
[dispmath]=\lim_{n\to\infty}\left(n\cdot\frac{\frac{1}{6n^2}+o\left(\frac{1}{n^2}\right)}{\frac{1}{n}+\frac{1}{2n^2}+o\left(\frac{1}{n^2}\right)}\right)[/dispmath] Na kraju zadatka si, dakle, skratio imenilac i brojilac sa [inlmath]\frac{1}{n}[/inlmath]. To znači da tačnost mora biti [inlmath]o\left(\frac{1}{n}\right)[/inlmath].

Prvi sabirak u brojiocu na početku zadatka će biti pomnožen sa [inlmath]n[/inlmath] koje stoji izvan druge zagrade ([inlmath]n[/inlmath] koje množi ceo razlomak).
To znači da će taj prvi sabirak morati da bude tačnosti [inlmath]\left(\frac{1}{n^2}\right)[/inlmath] da bi se, kad se pomnoži sa [inlmath]n[/inlmath] vratilo na potrebnih [inlmath]\frac{1}{n}[/inlmath]. Njega zato razvijamo do trećeg člana.
Drugi sabirak u brojiocu, [inlmath]-(2n)[/inlmath], je dakle pomnožen i sa tim [inlmath]n[/inlmath] koje stoji uz [inlmath]2[/inlmath], ali i sa onim [inlmath]n[/inlmath] koje stoji van druge zagrade ([inlmath]n[/inlmath] koje množi ceo razlomak). Dakle, ukupno je pomnoženo sa [inlmath]n^2[/inlmath].
Rekli smo da nama na kraju treba tačnost [inlmath]\frac{1}{n}[/inlmath] stoga drugi sabirak u brojiocu treba razviti do [inlmath]\frac{1}{n^3}[/inlmath], da bi se posle množenja sa [inlmath]n^2[/inlmath] i tu dobilo [inlmath]\frac{1}{n}[/inlmath].