MATEMANIJA

Radio sam kosu asimptotu, kada racunam [inlmath]N[/inlmath], dobijam neodredjenost [inlmath]\frac{0}{0}[/inlmath], i idem preko Lopitala, ali ne moze da mi se poklopi sa resenjima. U resenjima pise da je [inlmath]3[/inlmath].
[dispmath]\lim_{x\to\infty}\frac{\left(\frac{x-2}{2}e^\frac{1}{1-x}-1\right)'}{\left(\frac{1}{x}\right)'}[/dispmath]

Limes [inlmath]\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{\frac{x-2}{2}e^\frac{1}{1-x}-1}{\frac{1}{x}}[/inlmath] nije oblika [inlmath]\frac{0}{0}[/inlmath]. Lako se vidi da brojilac teži beskonačnosti, dok imenilac teži nuli, tako da ceo razlomak teži beskonačnosti (a i nisu ispunjeni uslovi za primenu L'Hôpitala).

Ako u rešenjima piše [inlmath]3[/inlmath], to znači da si grešku napravio negde ranije, tj. da izraz čiji limes tražimo ne glasi ovako kako si napisao. Zbog toga uvek treba, čak i kad pitaš samo za deo zadatka, da postaviš ceo zadatak, tačno onako kako glasi od reči do reči, kako bismo ti mogli reći više o tome gde je greška.

Pocetna funkcija je
[dispmath]y=(x-2)e^\frac{1}{1-x}[/dispmath] Posto horizontalnu asimptotu nema, trazimo kosu. Izracunao sam da je [inlmath]K=1[/inlmath], pa je
[dispmath]N=\lim_{x\to\infty}(x-2)e^\frac{1}{1-x}-x[/dispmath] Posto je ovo oblik beskonacno minus beskonacno, treba da napravimo oblik da bismo iskoristili Lopitalovo pravilo, izbacujemo [inlmath]x[/inlmath] ispred zagrade:
[dispmath]N=\lim_{x\to\infty}x\Biggl(\left(\frac{x-2}{x}\right)e^\frac{1}{1-x}-1\Biggr)[/dispmath] Sada ovo [inlmath]x[/inlmath] spustimo dole, i dobijamo oblik [inlmath]\frac{0}{0}[/inlmath]
[dispmath]\lim_{x\to\infty}\frac{\left(\frac{x-2}{x}e^\frac{1}{1-x}-1\right)}{\left(\frac{1}{x}\right)}[/dispmath] Sada je funkcija spremna za Lopitala:
[dispmath]\lim_{x\to\infty}\frac{\left(\frac{x-2}{x}e^\frac{1}{1-x}-1\right)'}{\left(\frac{1}{x}\right)'}[/dispmath]

P.S. sada vidim da sam gore napisao [inlmath]\frac{x-2}{2}[/inlmath], moja greska

murgalord je napisao:P.S. sada vidim da sam gore napisao [inlmath]\frac{x-2}{2}[/inlmath], moja greska

Kao što vidiš, to bitno menja stvari. Onako kako si taj izraz prvobitno bio napisao on je težio ka beskonačnosti, a ovako teži ka [inlmath]-3[/inlmath] (ne ka [inlmath]3[/inlmath] kako kažeš da piše u rešenjima), tako da se za kosu asimptotu dobije da je [inlmath]y=x-3[/inlmath].

Za imenilac ti, pretpostavljam, nije problem da nađeš izvod. Za izvod brojioca primenjuješ formulu za izvod proizvoda, [inlmath](uv)'=u'v+uv'[/inlmath], gde ti je jedan činilac [inlmath]\frac{x-2}{x}[/inlmath] (koji ti je zgodnije da napišeš kao [inlmath]\left(1-\frac{2}{x}\right)[/inlmath]), a drugi [inlmath]e^{\frac{1}{1-x}}[/inlmath]. Pri tome, imaj u vidu da ovaj drugi činilac predstavlja složenu funkciju, tako da primenjuješ i postupak traženja izvoda složene funkcije.