MATEMANIJA

Pozdrav svima, već duže vreme posećujem forum kao gost, pa je došlo vreme i za registraciju i naravno, pitanje za pomoć.

Ako može pomoć oko sledećeg limesa:
[dispmath]\lim_{n\to0}\left(2\sin^23x+\cos3x\right)^{1/\ln^2(1-3x)}[/dispmath] Moja neka ideja je bila da za eksponent iskoristim poznati limes [inlmath]\lim\limits_{t\to0}\ln\frac{t-1}{t}=1[/inlmath], pa onda pošto dobijem izraz tipa [inlmath]1^{\infty}[/inlmath], da sledece iskoristim [inlmath]\lim\limits_{n\to0}f(x)^{g(x)}=e^{\lim\limits_{n\to0}\bigl(f(x)-1\bigr)g(x)}[/inlmath], i dalje ne znam sta da radim. Problem mi je ovaj kosinus, ne znam sta da radim sa njim. Ako može neka pomoć, bio bih veoma zahvalan. Inače, zadatak je bio prošle godine na kolokvijumu iz Matematike 1 na Tehnološko-metalurškom fakultetu u Beogradu, ne znam šta treba da se dobije kao rešenje, i eksplicitno piše da ga treba uraditi bez primene izvoda.

Hvala unapred za pomoć.

Pozdrav i dobro došao.
Imao bih nekoliko pitanja.

• U izrazu čiji se limes traži figuriše [inlmath]x[/inlmath], dok si svuda pisao [inlmath]\lim\limits_{{\color{red}n}\to0}[/inlmath]. Pretpostavljam da je greška, tj. da treba [inlmath]\lim\limits_{{\color{red}x}\to0}[/inlmath]?
• Svuda gde u izrazu figuriše [inlmath]x[/inlmath], figuriše isključivo u obliku proizvoda [inlmath]3x[/inlmath]. To me malo zbunjuje, jer ne vidim svrhu toga ('oću da kažem, smenom [inlmath]3x=t[/inlmath] oslobodili bismo se tih trojaka pri čemu bi limes ostao nepromenjen, tj. te trojke su suvišne). Proveri još jednom da li limes zaista tako glasi.
• U zadatku piše da se ne smeju koristiti izvodi, a piše li i da se ne sme koristiti Tejlorov razvoj? (Znam, u Tejlorovom razvoju figurišu izvodi, al' možda je dozvoljeno koristiti gotove formule za razvoj [inlmath]\cos x[/inlmath] i [inlmath]\ln(1-x)[/inlmath] tako da ne moramo tražiti izvode...)

I, jedna ispravka,

miletrans je napisao:Moja neka ideja je bila da za eksponent iskoristim poznati limes [inlmath]\lim\limits_{t\to0}\ln\frac{t-1}{t}=1[/inlmath],

Taj limes nije jedan, štaviše, u brojiocu ćemo imati konačnu vrednost, a u imeniocu vrednost blisku nuli...

Hvala za dobrodošlicu i brzi odgovor. Izvinjavam se na greškama, treba malo vremena i prakse da Latex "legne" kako treba. Proverio sam, zaista svuda gde [inlmath]x[/inlmath] figuriše kao promenljiva, figuriše kao [inlmath]3x[/inlmath]. Naravno, [inlmath]x[/inlmath] (a ne [inlmath]n[/inlmath]) treba da teži beskonačnosti. U tekstu zadatka piše "bez primene izvoda". To obično znači da ne sme da se koristi l'Hôpital, ali mislim da sme da se razvija (kolokvijum imam kao .pdf, pa ako nekome od forumaša treba, rado ću ga poslati). A limes koji sam hteo da iskoristim za eksponent je [inlmath]\lim\limits_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1[/inlmath]. Kao što rekoh, LaTex i ja nismo baš najbolji drugovi, ali intenzivno radimo na upoznavanju.

Hvala još jednom.

OK. Onda odmah, na samom početku, preporučujem smenu [inlmath]3x=t[/inlmath], nakon koje možemo oznaku [inlmath]t[/inlmath] zameniti oznakom [inlmath]x[/inlmath] i dobiti pojednostavljen izraz
[dispmath]\lim_{x\to0}\left(2\sin^2x+\cos x\right)^{1/\ln^2(1-x)}[/dispmath] čisto radi uprošćenog pisanja. E sad bih ovde iskoristio poznati limes [inlmath]\lim\limits_{x\to0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=e[/inlmath], tako što na izraz unutar zagrade dodamo i oduzmemo [inlmath]1[/inlmath], dok eksponent pomnožimo i podelimo odgovarajućim izrazom:
[dispmath]\lim_{x\to0}\left[\left(1+2\sin^2x+\cos x-1\right)^{\Large\frac{1}{2\sin^2x+\cos x-1}}\right]^{\Large\frac{2\sin^2x+\cos x-1}{\ln^2(1-x)}}[/dispmath] i taj limes će, nakon „penjanja“ [inlmath]\lim[/inlmath] u eksponent, biti
[dispmath]e^{\Large\lim\limits_{x\to0}\frac{2\sin^2x+\cos x-1}{\ln^2(1-x)}}[/dispmath] Sada ovaj limes u eksponentu možemo računati na dva načina. Jedan je koristeći već pomenuti Tejlorov razvoj za funkcije [inlmath]\sin x[/inlmath], [inlmath]\cos x[/inlmath] i [inlmath]\ln(1-x)[/inlmath] (uz pretpostavku da vam dopuštaju da koristite gotove formule za razvoj, jer bi u protivnom razvoj morao da se računa preko izvoda, što ne bi bilo dozvoljeno jer je rečeno da se izvodi ne smeju koristiti).
Drugi način je da se [inlmath]\sin^2x[/inlmath] predstavi preko kosinusa, zatim se izvrši faktorizacija, nakon čega se za limes u eksponentu dobije
[dispmath]\lim_{x\to0}\frac{(1+2\cos x)(1-\cos x)}{\ln^2(1-x)}[/dispmath] U brojiocu je faktor [inlmath](1-\cos x)[/inlmath] taj koji teži nuli, tako da je on „problematičan“. Zato pomnožimo i brojilac i imenilac sa [inlmath](1+\cos x)[/inlmath], u brojiocu će [inlmath](1-\cos x)(1+\cos x)[/inlmath] dati kvadrat sinusa, pa zatim podelimo i brojilac i imenilac sa [inlmath]x^2[/inlmath] kako bismo u brojiocu dobili poznati limes [inlmath]\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1[/inlmath]:
[dispmath]\lim_{x\to0}\frac{(1+2\cos x)\left(\frac{\sin x}{x}\right)^2}{(1+\cos x)\frac{\ln^2(1-x)}{x^2}}[/dispmath] Odavde je sad sasvim jasno čemu je jednak ovaj limes. Naravno, ne treba na kraju zaboraviti da se ovaj limes nalazi u eksponentu broja [inlmath]e[/inlmath].

Poslednjih nekoliko koraka bi se možda moglo i neznatno skratiti, ako bismo, kad smo došli do limesa u eksponentu
[dispmath]\lim_{x\to0}\frac{2\sin^2x+\cos x-1}{\ln^2(1-x)}[/dispmath] podelili brojilac i imenilac sa [inlmath]x^2[/inlmath],
[dispmath]\lim_{x\to0}\frac{2\cdot\frac{\sin^2x}{x^2}-\frac{1-\cos x}{x^2}}{\frac{\ln^2(1-x)}{x^2}}[/dispmath] pa zatim u razlomku [inlmath]\frac{1-\cos x}{x^2}[/inlmath] pomnožili i brojilac i imenilac sa [inlmath](1+\cos x)[/inlmath] kako bismo u brojiocu dobili [inlmath]\sin^2x[/inlmath] koji bi u kombinaciji s [inlmath]x^2[/inlmath] u imeniocu težio jedinici:
[dispmath]\lim_{x\to0}\frac{2\cdot\frac{\sin^2x}{x^2}-\frac{\sin^2x}{x^2(1+\cos x)}}{\frac{\ln^2(1-x)}{x^2}}[/dispmath] i odatle je takođe očigledno čemu je taj limes jednak...

Hvala Daniel i za prvo rešenje (koje mi je nekako više "leglo", ali to je već stvar ukusa) i za ovu alternativu.

Ključna informacija koja mi je nedostajala je bila faktorizacija izraza u brojiocu eksponenta kada kvadrat sinusa izrazim preko kosinusa. Posle je sve lako (mada kad čovek bolje razmisli, sve mu u matematici dođe lako ). Ako sam dobro sračunao, rešenje celog limesa je [inlmath]e^\frac{3}{2}[/inlmath].

Tako je, [inlmath]e^{\frac{3}{2}}[/inlmath].