MATEMANIJA

Pozdrav, naisao sam na probleme prilikom rijesavanja ovog limesa:
[dispmath]\lim_{x\to\infty}\frac{\left(x^4-2\cdot x^2\right)^{\frac{1}{3}}}{(x-1)^{\frac{1}{3}}}[/dispmath] Direktnim uvrstavanjem dobijamo oblik pogodan za upotrebu L'Ospitalov pravila, ali ni nakon nekoliko upotreba istog ne dobijam izraz u kojeg se moze direktno uvrstavati granicna vrijednost, ima li neko ideju na koji nacin bi se mogao srediti gornji izraz pa da bez problem mogu uvrstavati osim beskonacnosti i npr. [inlmath]x=1[/inlmath] kao tacku izvan domena funkcije ?

Hvala unaprijed.

Pozdrav,

pošto pominješ tačku izvan domena funkcije pretpostavljam da je ovo zadatak kojim treba da ispitaš eventualno prisustvo asimptota ove funkcije? Što se tiče samog limesa, (neka me ispravi neko od iskusnijih forumaša ako grešim), uopšte ne moraš da primenjuješ l'Hopital-a. Pošto su i brojilac i imenilac istog stepena ([inlmath]\frac{1}{3}[/inlmath]), "strpaš" sve u jednu zagradu i onda deliš brojilac i imenilac sa [inlmath]x^4[/inlmath]:
[dispmath]\lim_{x\to\infty}\frac{\left(x^4-2\cdot x^2\right)^{\frac{1}{3}}}{(x-1)^{\frac{1}{3}}}=\lim_{x\to\infty}\left(\frac{\left(x^4-2\cdot x^2\right)}{(x-1)}\right)^{\frac{1}{3}}=\lim_{x\to\infty}\left(\frac{\left(x^4-2\cdot x^2\right)\frac{1}{x^4}}{(x-1)\frac{1}{x^4}}\right)^{\frac{1}{3}}=\\
=\lim_{x\to\infty}\left(\frac{\left(\frac{x^4}{x^4}-2\cdot\frac{x^2}{x^4}\right)}{\left(\frac{1}{x^4}\right)-\frac{1}{x^4}}\right)^{\frac{1}{3}}=\lim_{x\to\infty}\left(\frac{\left(1-\frac{2}{x^2}\right)}{\left(\frac{1}{x^3}\right)-\frac{1}{x^4}}\right)^{\frac{1}{3}}=\infty[/dispmath] Ovo bi, naravno značilo da funkcija nema desnu horizontalnu (ili kosu, ako si tražio [inlmath]k[/inlmath] ili [inlmath]n[/inlmath]) asimptotu (ako je to zadatak). Ako sam negde pogrešio, izvinjavam se, imao sam dobru volju (a trenutno i dovoljno vremena) da pomognem.

Ovde se, zapravo, već iz limesa [inlmath]\displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(\frac{x^4-2\cdot x^2}{x-1}\right)^{\frac{1}{3}}[/inlmath] (kada i brojilac i imenilac „uđu“ pod stepen [inlmath]\frac{1}{3}[/inlmath]) moglo videti da će vrednost limesa biti beskonačna, budući da je najveći stepen promenljive [inlmath]x[/inlmath] u brojiocu veći od najvećeg stepena [inlmath]x[/inlmath] u imeniocu.