MATEMANIJA

Pozdrav, radim ovaj zadatak, i ne znam da li ga radim dobro. Pa ako mozete da vidite, hvala puno.
[dispmath]f(x)=xe^{\large\frac{x+1}{x-2}}[/dispmath] Kako je [inlmath]y=kx+n[/inlmath]
[dispmath]k=\lim_{x\to\infty}\frac{xe^{\large\frac{x+1}{x-2}}}{x}[/dispmath][dispmath]k=\lim_{x\to\infty}e^{\large\frac{x+1}{x-2}}=e[/dispmath][dispmath]n=\lim_{x\to\infty}xe^{\large\frac{x+1}{x-2}}-ex[/dispmath][dispmath]n=\lim_{x\to\infty}x\left(e^{\large\frac{x+1}{x-2}}-e\right)[/dispmath][dispmath]n=\lim_{x\to\infty}\frac{e^{\large\frac{x+1}{x-2}}-e}{\frac{1}{x}}[/dispmath] Ovde sada primenimo lopitalovo pravilo i dobijamo:
[dispmath]n=\lim_{x\to\infty}e^{\large\frac{x+1}{x-2}}\frac{\large\frac{-3}{(x-2)^2}}{\large\frac{-1}{x^2}}[/dispmath][dispmath]n=\lim_{x\to\infty}e^{\large\frac{x+1}{x-2}}\frac{3x^2}{x^2-4x+4}[/dispmath][dispmath]n=3e[/dispmath] [inlmath]y=ex+3e[/inlmath]

Koliko vidim, postupak i rešenje su ti tačni.

[inlmath]n[/inlmath] se može odrediti i bez L'Hôpitala, prikazaću časkom i taj drugi način.
[dispmath]n=\lim_{x\to\infty}x\left(e^{\large\frac{x+1}{x-2}}-e\right)[/dispmath] Izvučemo [inlmath]e[/inlmath] ispred zagrade (a i ispred limesa, pošto je konstanta), pri čemu ono što je u zagradi podelimo sa [inlmath]e[/inlmath]:
[dispmath]n=e\lim_{x\to\infty}x\left(e^{\large\frac{x+1}{x-2}-1}-1\right)=e\lim_{x\to\infty}x\left(e^{\large\frac{3}{x-2}}-1\right)[/dispmath] Sada gledamo da ovo svedemo na onaj poznati limes [inlmath]\lim\limits_{t\to0}\frac{e^t-1}{t}=1[/inlmath]. U eksponentu broja [inlmath]e[/inlmath] imamo [inlmath]\frac{3}{x-2}[/inlmath] koje teži nuli, tako da treba da ga imamo i u imeniocu da bismo mogli primeniti pomenuti limes. Zato pomnožimo i brojilac i imenilac sa [inlmath]\frac{3}{x-2}[/inlmath]:
[dispmath]n=e\lim_{x\to\infty}x\cdot\frac{e^{\large\frac{3}{x-2}}-1}{\frac{3}{x-2}}\cdot\frac{3}{x-2}[/dispmath] Trojku, kao konstantu, izvučemo ispred limesa a ovo ostalo pregrupišemo,
[dispmath]n=3e\lim_{x\to\infty}\frac{e^{\large\frac{3}{x-2}}-1}{\frac{3}{x-2}}\cdot\frac{x}{x-2}[/dispmath] Unutar limesa imamo dva činioca od kojih svaki teži jedinici, pa je limes jednak jedinici, tako da ostaje samo ono što je izvan limesa, a to je [inlmath]3e[/inlmath].

Preporučujem da, kad god ti vreme to dozvoljava, uradiš zadatak na više od jednog načina – i radi vežbe, a i radi provere da li se rezultati poklapaju.