MATEMANIJA

Pozdrav drugari, dugo nisam svraćao...

Imam problem oko 2 zadatka vezana za granične vrednosti nizova:

1. Zadatak
[dispmath]\lim_{n\to\infty}\left(\frac{2017}{n}\right)^n[/dispmath] Izraz sam prvo rastavio kao limes količnika: [inlmath]\lim\limits_{n\to\infty}\frac{2017^n}{n^n}=\frac{\lim\limits_{n\to\infty}2017^n}{\lim\limits_{n\to\infty}n^n}[/inlmath]. Sada izraz u brojiocu bi trebalo da bude [inlmath]\infty[/inlmath], jer je osnova veća od [inlmath]-1[/inlmath], ali ne znam šta da radim sa imeniocem.


2. Zadatak
[dispmath]\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n^2+n}}\right)[/dispmath] Kod ovog nemam predstavu šta bih uradio.

Hvala unapred!

Pozdrav

2. Zadatak:

Označimo sa [inlmath]a_n=\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n^2+n}}[/inlmath], uočimo da je
[dispmath]\frac{n}{\sqrt{n^2+n}}\le a_n\le\frac{n}{\sqrt{n^2+1}}[/dispmath] Lako se vidi da je [inlmath]\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n}{\sqrt{n^2+n}}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}}=1[/inlmath],
i [inlmath]\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n}{\sqrt{n^2+1}}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}}=1[/inlmath]

Tako da je [inlmath]\lim\limits_{n\to\infty}a_n=1[/inlmath]

Što se tiče prvog zadatka, možeš ga napisati kao:
[dispmath]\lim\limits_{n\to\infty}\Big(\frac{2017}{n}\Big)^n=e^{\lim\limits_{n\to\infty}n\left(\ln(2017)+\ln\bigl(\frac{1}{n}\bigr)\right)}=0[/dispmath]

Pozdrav, extreme.

Prvi zadatak se, po meni, rešava sasvim trivijalno – izraz unutar zagrade, [inlmath]\frac{2017}{n}[/inlmath], teži nuli, a kada se bilo koji izraz koji je blizak nuli stepenuje nekim brojem većim od jedinice (a pogotovo brojem koji teži beskonačnosti), tada se još više približi nuli.
Ili, možda je ovako očiglednije:
[dispmath]\lim_{n\to\infty}\left(\frac{2017}{n}\right)^n=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{\frac{n}{2017}}\right)^n=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\left(\frac{n}{2017}\right)^n}[/dispmath] [inlmath]\frac{n}{2017}[/inlmath] teži beskonačnosti, a samim tim i [inlmath]\left(\frac{n}{2017}\right)^n[/inlmath] teži beskonačnosti. A pošto se taj izraz nalazi u imeniocu, vrednost razlomka će težiti nuli.

mala_mu je napisao:[dispmath]\frac{n}{\sqrt{n^2+n}}\le a_n\le\frac{n}{\sqrt{n^2+1}}[/dispmath]

Ili, možda, za nijansu jednostavnije:
[dispmath]\frac{n}{\sqrt{n^2+n}}\le a_n\le\frac{n}{\sqrt{n^2}}=1[/dispmath] al' to je u principu to isto...

Hvala puno na pomoći