MATEMANIJA

Evo još dva (verovatno laka) zadatka koja nisam uspeo da rešim:

1. Zadatak
[dispmath]\lim_{n\to\infty}\frac{\sin2n+\cos2n}{2n}[/dispmath] Što se ovog zadatka tiče, pokušao sam da izraz rastavim na sledeći način:
[dispmath]\lim_{n\to\infty}\frac{\sin2n+\cos2n}{2n}=\lim_{n\to\infty}\frac{\sin2n}{2n}+\lim_{n\to\infty}\frac{\cos2n}{2n}=\\\
\\\
=\lim_{n\to\infty}\frac{\sin2n}{2n}+\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{1-(\sin2n)^2}}{2n}=\lim_{n\to\infty}\frac{\sin2n}{2n}+\lim_{n\to\infty}\sqrt{\frac{1}{4n^2}-\left(\frac{\sin 2n}{2n}\right)^2}[/dispmath] Sad, prvi limes je tablični i jednak je [inlmath]1[/inlmath], dok kod drugog dobijam [inlmath]\sqrt{-1}[/inlmath]. Ovde sam verovatno napravio neku glupu grešku, ali ne mogu da je pronađem, pošto rešenje treba da bude [inlmath]0[/inlmath].

2. Zadatak
[dispmath]\lim_{n\to\infty}\frac{\sin3n}{(-1)^n\cdot n}[/dispmath] Kod ovog zadatka već nemam ideju...

Hvala unapred

Vodi računa kod prvog zadatka [inlmath]\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1[/inlmath] ako ti [inlmath]x[/inlmath] teži nuli. Tebi u ovom slučaju [inlmath]x[/inlmath] teži beskonačnosti. Kako god okreneš, u brojiocu ćeš uvek imati neki konačan broj (i sinus i kosinus mogu da imaju maksimalne vrednosti [inlmath]1[/inlmath]), a u imeniocu beskonačnost. Dakle, deliš konačnu vrednost beskonačnom pa ti se rezultat nameće sam.

Promaklo mi je, hvala na odgovoru

Ima li neko ideju za drugi? Granične vrednosti mi očigledno malo slabije idu...

Pa i u drugom ti je potpuno isti slučaj. Konačna vrednost podeljena beskonačnom vrednošću.

Čisto uzgred, radi budućih zadataka, da prokomentarišem onaj korak u prvom zadatku u kojem si [inlmath]\cos2n[/inlmath] zamenio sa [inlmath]\sqrt{1-(\sin2n)^2}[/inlmath].

Kada imamo [inlmath]\cos^2x[/inlmath], on se bez problema može zameniti sa [inlmath]1-\sin^2x[/inlmath].

Međutim, kad imamo [inlmath]\cos x[/inlmath] (bez kvadrata), stvar nije tako jednostavna. Moramo posmatrati da li [inlmath]\cos x[/inlmath] ima pozitivnu ili negativnu vrednost i, ako ima pozitivnu vrednost biće jednak [inlmath]\sqrt{1-\sin^2x}[/inlmath], a ako ima negativnu vrednost biće jednak [inlmath]-\sqrt{1-\sin^2x}[/inlmath].

Pošto u ovom konkretnom slučaju [inlmath]n\to\infty[/inlmath], predznak [inlmath]\cos2n[/inlmath] nije određen budući da i u beskonačnosti kosinus osciluje između [inlmath]-1[/inlmath] i [inlmath]1[/inlmath], i zbog toga ne možemo tek tako [inlmath]\cos2n[/inlmath] zameniti pomenutim korenom.

Hvala na savetu, koristiće mi sigurno

Malo me buni izraz u imeniocu, konkretno [inlmath](-1)^n[/inlmath] jer, valjda, ako je osnova [inlmath]\le-1[/inlmath] limes ne postoji. Onda u tom slučaju imamo konačnu graničnu vrednost, podeljenu sa proizvodom beskonačne i nečim što nije definisano?

Tačno, ne postoji [inlmath]\lim\limits_{n\to\infty}(-1)^n[/inlmath], jer i u beskonačnosti članovi niza [inlmath](-1)^n[/inlmath] nastavljaju da naizmenično poprimaju vrednosti [inlmath]-1[/inlmath] i [inlmath]1[/inlmath].

Međutim, ti ovde [inlmath](-1)^n[/inlmath] ne posmatraš kao izolovani niz. On se u imeniocu množi beskonačnom veličinom, tako da kada [inlmath]n\to\infty[/inlmath] imenilac naizmenično poprima vrednosti [inlmath]-\infty[/inlmath] i [inlmath]\infty[/inlmath], dok u brojiocu imamo konačnu veličinu (koja osciluje između [inlmath]-1[/inlmath] i [inlmath]1[/inlmath]) – a kad konačnu vrednost podelimo bilo negativnom beskonačnom, bilo pozitivnom beskonačnom veličinom, u oba slučaja dobijamo nulu.

Hvala još jednom, stvarno ste od pomoći