MATEMANIJA

Pozdrav,

Evo još jednog zadatka koji me muči:

- U zavisnosti od realnog parametra [inlmath]p[/inlmath] odrediti graničnu vrednost niza:
[dispmath]\lim_{n\to\infty}\left(\frac{\left(p^2+1\right)n-3}{10n-1}\right)^{-n}[/dispmath] Znam da se kod graničnih vrednosti oblika [inlmath]1^{\infty}[/inlmath] gleda kakva je osnova (beskonačno za osnovu veću od [inlmath]1[/inlmath], [inlmath]1[/inlmath] za osnovu jednaku [inlmath]1[/inlmath]...) ali nemam ideju kako da pravilno rastavim na slučajeve.

Hvala unapred

Ajde da probam...

Pravilno si zaključio da ti vrednost ovog limesa zavisi od toga da li ti je izraz u zagradi veći, manji ili jednak [inlmath]1[/inlmath]. Jedino moraš da vodiš računa da ga dižeš na stepen [inlmath]-\infty[/inlmath], tako da će ti zapravo ceo izraz u zagradi biti u imeniocu. Drugim rečima, ako izraz u zagradi dignut na stepen [inlmath]n[/inlmath] teži [inlmath]0[/inlmath], ceo limes će težiti beskonačnosti. E, sada posmatramo samo izraz u zagradi. Ako je on manji od [inlmath]1[/inlmath], kada ga stepenuješ sve većim i većim brojem, izraz će težiti [inlmath]0[/inlmath], a pošto se nalazi u imeniocu celog izraza u limesu, ceo izraz će težiti [inlmath]\infty[/inlmath]. Analogno, kada je izraz u zagradi veći od [inlmath]1[/inlmath], ceo izraz u limesu će težiti [inlmath]0[/inlmath]. Dakle, ti treba da ispitaš za koje vrednosti parametra [inlmath]p[/inlmath] će izraz u zagradi biti veći, za koje manji a za koje jednak broju [inlmath]1[/inlmath].

Zapravo, možda bi bilo preciznije reći – limes izraza u zagradi veći od [inlmath]1[/inlmath] (manji od [inlmath]1[/inlmath], jednak [inlmath]1[/inlmath])...

Hvala vam, uspeo sam da ga uradim...

Trebalo bi da si dobio tri različita rešenja – u zavisnosti od toga da li je izraz [inlmath]\left(p^2+1\right)[/inlmath] veći od [inlmath]10[/inlmath], jednak [inlmath]10[/inlmath], ili manji od [inlmath]10[/inlmath]...