MATEMANIJA

Pozdrav ...
Zadatak glasi:
Odrediti granične vrednosti.
[dispmath]\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1^2}{n^3}+\frac{2^2}{n^3}+\frac{3^2}{n^3}+\cdots+\frac{(n-1)^2}{n^3}+\frac{5}{n}\right)[/dispmath] Moje resenje:
[dispmath]1.\quad\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1^2}{n^3}+\frac{2^2}{n^3}+\frac{3^2}{n^3}+\cdots+\frac{(n-1)^2}{n^3}+\frac{5}{n}\right)\\
2.\quad\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{n^3}\cdot\left(1^2+2^2+3^2+\cdots+(n-1)^2+n^2+5n^2\right)\right)\\
\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{n^3}\cdot\bigl(\underbrace{1^2+2^2+3^2+\cdots+(n-1)^2+n^2}+5n^2\bigr)\right)[/dispmath] Ja sam ovde primetio nesto sto sam postavio na ovoj temi iz cega sledi da je:
[dispmath]1^2+2^2+3^2+\cdots+(n-1)^2+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}[/dispmath] Sada zamenom [inlmath]\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}[/inlmath] umesto [inlmath]1^2+2^2+3^2+\cdots+(n-1)^2+n^2[/inlmath] dobijamo:
[dispmath]\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^3}\left(\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+5n^2\right)\\
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^3}\left(\frac{n(n+1)(2n+1)+30n^2}{6}\right)[/dispmath] Kada izmnozimo:
[dispmath]\lim_{n\to\infty}\frac{2n^3+33n^2+n}{6n^3}[/dispmath] Podelivši sve sa [inlmath]n^3[/inlmath] dobije se tacan rezultat [inlmath]\frac{1}{3}[/inlmath]
Drugi nacin resavanja ili ideja bi svakako bili od koristi...

Rešenje jeste tačno, ali si napravio previd koji nije uticao na konačan rezultat. Primeti da u brojiocu imaš [inlmath]n-1[/inlmath] članova, pa ti je ovaj zbir kvadrata zapravo jednak:
[dispmath]\frac{(n-1)n(2n-1)}{6}[/dispmath]

Da, na to nisam obracao paznju ali eto dobijen je tacan rezultat sto bi kod drugih zadataka bilo upitno...
Inace hvala na zapazanju