MATEMANIJA

Naci
[dispmath]\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt[n]{n!}}{n}[/dispmath] moja je bila kada se taj limes malo raspise bude,
[dispmath]\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt[n]{n(n-1)\cdots1}}{n}[/dispmath] e sada prvi ako se to napise kao
[dispmath]\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n^{1-n}(n-1)\cdots1}[/dispmath] Pa kako vazi da je
[dispmath]\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}=L[/dispmath] pa je i
[dispmath]\lim_{n\to\infty}a_n=L[/dispmath] na osnovu toga bi bilo da je
[dispmath]\lim_{n\to\infty}n^{1-n}=0[/dispmath] onda je i pocetni limes jednak nuli?

markoskoric916 je napisao:Pa kako vazi da je
[dispmath]\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}=L[/dispmath] pa je i
[dispmath]\lim_{n\to\infty}a_n=L[/dispmath]

Ovaj deo nisam razumeo.

Primenom Stirlingove aproksimacije [inlmath]n!\approx\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n[/inlmath] limes se rešava u dva reda i dobije se da je jednak [inlmath]\frac{1}{e}[/inlmath].
Zasad ne vidim neki drugi način za ovaj limes, a ako se budem setio – javim.

Mozemo upotrebiti osobinu da za pozitivan niz [inlmath]x_n[/inlmath] vazi:
[dispmath]\lim\sqrt[n]{x_n}=\lim\frac{x_{n+1}}{x_n}[/dispmath]

Ja bi ovo preko integrala...

Neka je: [inlmath]L=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n!^\frac{1}{n}}{n}[/inlmath]. Logaritmujemo obe strane:
[dispmath]\log{L}=\log\lim_{n\to\infty}\frac{n!^\frac{1}{n}}{n}[/dispmath] Dalje pisem bez limesa, samo resavam izraz u limesu.
[dispmath]\log\frac{n!^\frac{1}{n}}{n}=\frac{1}{n}(\log n!-n\log n)=\frac{1}{n}\log\frac{n!}{n^n}=\frac{1}{n}\log\frac{n(n-1)\cdots2\cdot1}{\underbrace{n\cdot n\cdots n\cdot n}_{n\text{ množenja}}}[/dispmath] Sto je dalje jednako:
[dispmath]\frac{1}{n}\left(\log\frac{1}{n}+\log\frac{2}{n}+\cdots+\log\frac{n}{n}\right)=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\log\frac{k}{n}[/dispmath] Ovo ti je integral... Ne mogu da ti objasnjavam zasto malo je komplikovano, ako ti bas nije jasno, reci i objasnicu. Dakle dobices da ti je:
[dispmath]\log L=\int\limits_0^1\ln x\,\mathrm dx=-1[/dispmath] Ovade sledi da ti je
[dispmath]L=e^{-1}=\frac{1}{e}[/dispmath] sto je i Daniel dobio.

Kada resavas integral dobices na kraju ovako: [inlmath]x\log x-x[/inlmath] u granicama od [inlmath]0[/inlmath] do [inlmath]1[/inlmath].

Kad umesto [inlmath]x[/inlmath] uvrstis [inlmath]0[/inlmath] dobijas [inlmath]0\cdot\log0[/inlmath], ovo je neodredjen oblik, pa zato ga radis preko limesa. Stavis limes sa leve strane kada [inlmath]x[/inlmath] tezi [inlmath]0[/inlmath], i napravis [inlmath]\frac{\log x}{\frac{1}{x}}[/inlmath] i uradis Lopitalovo pravilo i dobijes da je to [inlmath]0[/inlmath]. Kraj.

Baš mi se svideo ovaj način preko integrala, veoma je originalan.

Što se tiče ovog dela za koji je Subject rekao da će ga po potrebi pojasniti,

Subject je napisao:[dispmath]\frac{1}{n}\left(\log\frac{1}{n}+\log\frac{2}{n}+\cdots+\log\frac{n}{n}\right)=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\log\frac{k}{n}[/dispmath] Ovo ti je integral... Ne mogu da ti objasnjavam zasto malo je komplikovano, ako ti bas nije jasno, reci i objasnicu.

bilo je o tome reči u drugom delu ovog posta, pa zainteresovani mogu baciti pogled.
Naime, ova suma još uvek nije integral, ali će preći u integral kada se pusti da [inlmath]n[/inlmath] teži beskonačnosti. Tada će izraz [inlmath]\frac{k}{n}[/inlmath] koji ima diskretne vrednosti od [inlmath]\frac{1}{n}[/inlmath] do [inlmath]1[/inlmath], preći u [inlmath]x[/inlmath] koje ima kontinualnu vrednost od [inlmath]0[/inlmath] do [inlmath]1[/inlmath]. Razlomak [inlmath]\frac{1}{n}[/inlmath] ispred sume preći će u diferencijal [inlmath]\mathrm dx[/inlmath], dok će sama suma po [inlmath]k[/inlmath] preći u integral po [inlmath]x[/inlmath], s granicama od [inlmath]0[/inlmath] do [inlmath]1[/inlmath].